Номер 769, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Сложение и умножение числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 769, страница 172.

769. Зная, что $6 < x < 7$ и $10 < y < 12$, оцените:

а) $x + y$;

б) $y - x$;

в) $xy$;

г) $\frac{y}{x}$.

а) $x + y$;

Для того чтобы оценить сумму $x + y$, необходимо сложить почленно данные неравенства. У нас есть два неравенства: $6 < x < 7$ и $10 < y < 12$.

Сложим левые части неравенств и правые части неравенств соответственно:

$6 + 10 < x + y < 7 + 12$

Выполним сложение:

$16 < x + y < 19$

Таким образом, значение суммы $x+y$ находится в интервале от 16 до 19.

Ответ: $16 < x + y < 19$.

б) $y - x$;

Для оценки разности $y - x$, необходимо сначала найти оценку для $-x$. Возьмем неравенство $6 < x < 7$ и умножим все его части на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-6 > -x > -7$

Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-7 < -x < -6$

Теперь сложим почленно неравенство для $y$ ($10 < y < 12$) и полученное неравенство для $-x$:

$10 + (-7) < y + (-x) < 12 + (-6)$

$3 < y - x < 6$

Следовательно, значение разности $y-x$ находится в интервале от 3 до 6.

Ответ: $3 < y - x < 6$.

в) $xy$;

Для оценки произведения $xy$, необходимо перемножить почленно данные неравенства. Это можно делать, так как все части неравенств $6 < x < 7$ и $10 < y < 12$ являются положительными числами.

Перемножим левые и правые части неравенств:

$6 \cdot 10 < xy < 7 \cdot 12$

Выполним умножение:

$60 < xy < 84$

Значит, значение произведения $xy$ находится в интервале от 60 до 84.

Ответ: $60 < xy < 84$.

г) $\frac{y}{x}$.

Для оценки частного $\frac{y}{x}$ мы будем действовать по аналогии с умножением, представив деление как умножение на обратную величину. Сначала найдем оценку для $\frac{1}{x}$.

Из неравенства $6 < x < 7$ (где все части положительны) следует, что при взятии обратной величины знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{1}{6} > \frac{1}{x} > \frac{1}{7}$

Запишем это в стандартном виде:

$\frac{1}{7} < \frac{1}{x} < \frac{1}{6}$

Теперь умножим почленно неравенство для $y$ ($10 < y < 12$) на полученное неравенство для $\frac{1}{x}$:

$10 \cdot \frac{1}{7} < y \cdot \frac{1}{x} < 12 \cdot \frac{1}{6}$

Выполним вычисления:

$\frac{10}{7} < \frac{y}{x} < 2$

Таким образом, значение частного $\frac{y}{x}$ находится в интервале от $\frac{10}{7}$ до 2.

Ответ: $\frac{10}{7} < \frac{y}{x} < 2$.