Номер 762, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Свойства числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 762, страница 169.

762. Оцените значение выражения $\frac{1}{y}$, если:

a) $5 < y < 8$;

б) $0,125 < y < 0,25$.

а)

Нам дано двойное неравенство $5 < y < 8$. Все части этого неравенства (5, y и 8) являются положительными числами.

Для того чтобы оценить значение выражения $\frac{1}{y}$, мы должны применить свойство неравенств для обратных величин. Если $a$ и $b$ - положительные числа и $a < b$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$. Другими словами, при взятии обратной величины от всех частей неравенства с положительными членами, знаки неравенства меняются на противоположные.

Применим это правило к нашему неравенству $5 < y < 8$:

1. Возьмем обратные величины для каждой части неравенства: $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{y}$ и $\frac{1}{8}$.

2. Изменим знаки неравенства на противоположные: знак «<» меняется на «>».

Получаем: $\frac{1}{5} > \frac{1}{y} > \frac{1}{8}$.

Для более привычной записи двойного неравенства (от меньшего к большему) перепишем его в виде:

$\frac{1}{8} < \frac{1}{y} < \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{8} < \frac{1}{y} < \frac{1}{5}$.

б)

Нам дано двойное неравенство $0,125 < y < 0,25$. Все части этого неравенства также положительны.

Для удобства вычислений преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде:

$\frac{1}{8} < y < \frac{1}{4}$

Теперь, как и в предыдущем пункте, возьмем обратные величины от каждой части неравенства и изменим знаки неравенства на противоположные.

1. Обратная величина для $\frac{1}{8}$ это 8.

2. Обратная величина для $y$ это $\frac{1}{y}$.

3. Обратная величина для $\frac{1}{4}$ это 4.

Применяя правило, получаем:

$8 > \frac{1}{y} > 4$

Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$4 < \frac{1}{y} < 8$

Ответ: $4 < \frac{1}{y} < 8$.