Номер 755, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Свойства числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 755, страница 169.

755. Известно, что $a, b, c$ и $d$ — положительные числа, причём $a > b, d < b, c > a.$ Расположите в порядке возрастания числа $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}.$

Для решения этой задачи нам нужно сначала упорядочить исходные положительные числа $a, b, c, d$, а затем, на основе этого порядка, расположить их обратные величины.

1. Анализ исходных неравенств.

Нам даны следующие соотношения:

1) $a > b$

2) $d < b$, что эквивалентно $b > d$

3) $c > a$

Объединим эти неравенства в одну общую цепочку. Из $c > a$ и $a > b$ следует, что $c > a > b$. Добавив к этому неравенство $b > d$, получаем итоговый порядок для исходных чисел:$c > a > b > d$.

2. Сравнение обратных величин.

Для любых положительных чисел действует правило: если одно число больше другого, то его обратная величина будет меньше. То есть, если $x > y > 0$, то $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$.

Применим это свойство к полученной нами цепочке неравенств $c > a > b > d$. Так как все числа положительны, мы можем взять обратные величины от каждой части неравенства, изменив знаки неравенства на противоположные:

$\frac{1}{c} < \frac{1}{a} < \frac{1}{b} < \frac{1}{d}$.

Это и есть искомый порядок чисел в порядке возрастания.

Ответ: $\frac{1}{c}, \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{d}$.