Номер 756, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Свойства числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 756, страница 169.

756. (Для работы в парах.) Известно, что $a$ — положительное число.

а) Расположите в порядке возрастания числа: $2a, a\sqrt{3}, -a, a(\sqrt{3} - \sqrt{2}), 3a.$

б) Расположите в порядке убывания числа: $6a, -a\sqrt{5}, a(\sqrt{7} - \sqrt{6}), -a, -5a - 1.$

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте допущенные ошибки.

а) Расположите в порядке возрастания числа: $2a, a\sqrt{3}, -a, a(\sqrt{3}-\sqrt{2}), 3a$.

Поскольку по условию $a$ — положительное число ($a > 0$), то для того чтобы сравнить данные числа, достаточно сравнить их коэффициенты. Если мы разделим каждое число на $a$, порядок между ними сохранится.

Сравним коэффициенты: $2$, $\sqrt{3}$, $-1$, $(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ и $3$.

1. Определим знак каждого коэффициента. $-1$ — единственное отрицательное число, следовательно, оно будет наименьшим.

2. Сравним остальные, положительные коэффициенты: $2$, $\sqrt{3}$, $(\sqrt{3}-\sqrt{2})$, $3$.

3. Оценим приблизительные значения корней: $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt{3} \approx 1.732$.

Тогда:

• $\sqrt{3} \approx 1.732$
• $\sqrt{3}-\sqrt{2} \approx 1.732 - 1.414 = 0.318$

4. Теперь мы можем расположить все коэффициенты в порядке возрастания (от меньшего к большему):
$-1$ (самое маленькое)
$\sqrt{3}-\sqrt{2} \approx 0.318$
$\sqrt{3} \approx 1.732$
$2$
$3$ (самое большое)

Таким образом, получаем неравенство для коэффициентов:
$-1 < \sqrt{3}-\sqrt{2} < \sqrt{3} < 2 < 3$

5. Умножим все части этого неравенства на положительное число $a$. Знак неравенства при этом не изменится:
$-a < a(\sqrt{3}-\sqrt{2}) < a\sqrt{3} < 2a < 3a$

Ответ: $-a$, $a(\sqrt{3}-\sqrt{2})$, $a\sqrt{3}$, $2a$, $3a$.

---

б) Расположите в порядке убывания числа: $6a, -a\sqrt{5}, a(\sqrt{7}-\sqrt{6}), -a, -5a-1$.

Так же, как и в предыдущем задании, будем сравнивать коэффициенты при $a$, так как $a > 0$. Число $-5a-1$ представим в виде $a(-5 - \frac{1}{a})$.

Сравним следующие значения: $6$, $-\sqrt{5}$, $(\sqrt{7}-\sqrt{6})$, $-1$ и $(-5 - \frac{1}{a})$.

1. Оценим приблизительные значения:

• $\sqrt{5} \approx 2.236$, значит $-\sqrt{5} \approx -2.236$
• $\sqrt{6} \approx 2.449$, $\sqrt{7} \approx 2.646$. Тогда $\sqrt{7}-\sqrt{6} \approx 2.646 - 2.449 = 0.197$.
  Более строго: $\sqrt{7}-\sqrt{6} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} = \frac{7-6}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$. Так как $\sqrt{7}>2$ и $\sqrt{6}>2$, то $\sqrt{7}+\sqrt{6}>4$, следовательно $0 < \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} < \frac{1}{4}$.
• Так как $a > 0$, то $\frac{1}{a} > 0$, следовательно $-5 - \frac{1}{a} < -5$.

2. Расположим полученные значения в порядке убывания (от большего к меньшему):
$6$ (самое большое, единственное положительное число больше 1)
$\sqrt{7}-\sqrt{6}$ (положительное, но меньше 1)
$-1$ (наибольшее из отрицательных)
$-\sqrt{5} \approx -2.236$
$-5 - \frac{1}{a}$ (самое маленькое, так как оно меньше -5)

3. Таким образом, получаем цепочку неравенств:
$6 > \sqrt{7}-\sqrt{6} > -1 > -\sqrt{5} > -5 - \frac{1}{a}$

4. Вернемся к исходным числам. Умножая коэффициенты на $a$ (и учитывая свободный член в последнем выражении), получаем итоговый порядок:
$6a > a(\sqrt{7}-\sqrt{6}) > -a > -a\sqrt{5} > -5a-1$

Ответ: $6a$, $a(\sqrt{7}-\sqrt{6})$, $-a$, $-a\sqrt{5}$, $-5a-1$.