Номер 759, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Свойства числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 759, страница 169.

759. Пользуясь тем, что $1.4 < \sqrt{2} < 1.5$, оцените значение выражения:

а) $\sqrt{2} + 1$;

б) $\sqrt{2} - 1$;

в) $2 - \sqrt{2}$.

а)

Для оценки значения выражения $\sqrt{2} + 1$ воспользуемся данным в условии неравенством:

$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$

Согласно свойствам числовых неравенств, если ко всем частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. Прибавим ко всем частям число 1:

$1,4 + 1 < \sqrt{2} + 1 < 1,5 + 1$

Выполним сложение:

$2,4 < \sqrt{2} + 1 < 2,5$

Ответ: $2,4 < \sqrt{2} + 1 < 2,5$.

б)

Для оценки значения выражения $\sqrt{2} - 1$ также используем исходное неравенство:

$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$

Согласно свойствам числовых неравенств, если из всех частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство. Вычтем из всех частей число 1:

$1,4 - 1 < \sqrt{2} - 1 < 1,5 - 1$

Выполним вычитание:

$0,4 < \sqrt{2} - 1 < 0,5$

Ответ: $0,4 < \sqrt{2} - 1 < 0,5$.

в)

Для оценки значения выражения $2 - \sqrt{2}$ начнем с исходного неравенства:

$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$

Сначала умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1,4 > -\sqrt{2} > -1,5$

Для удобства запишем это неравенство в порядке возрастания:

$-1,5 < -\sqrt{2} < -1,4$

Теперь прибавим ко всем частям полученного двойного неравенства число 2:

$2 - 1,5 < 2 - \sqrt{2} < 2 - 1,4$

Выполнив вычисления, получим окончательную оценку:

$0,5 < 2 - \sqrt{2} < 0,6$

Ответ: $0,5 < 2 - \sqrt{2} < 0,6$.