Номер 754, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Свойства числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 754, страница 168.

754. Известно, что $c > d$. Объясните, на основании каких свойств можно утверждать, что верно неравенство:

а) $-7c < -7d$;

б) $\frac{c}{8} > \frac{d}{8}$;

в) $2c + 11 > 2d + 11$;

г) $0.01c - 0.7 > 0.01d - 0.7$;

д) $1 - c < 1 - d$;

е) $2 - \frac{c}{2} < 2 - \frac{d}{2}$.

Все преобразования основаны на свойствах числовых неравенств. Исходное условие: $c > d$.

а) $-7c < -7d$

Это неравенство получается из исходного неравенства $c > d$ путем умножения обеих его частей на отрицательное число $-7$.
Согласно свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
$c > d \quad | \cdot (-7)$
$-7c < -7d$

Ответ: Утверждение верно на основании свойства умножения обеих частей неравенства на отрицательное число.

б) $\frac{c}{8} > \frac{d}{8}$

Данное неравенство получено из исходного $c > d$ путем деления обеих его частей на положительное число $8$.
Согласно свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
$c > d \quad | : 8$
$\frac{c}{8} > \frac{d}{8}$

Ответ: Утверждение верно на основании свойства деления обеих частей неравенства на положительное число.

в) $2c + 11 > 2d + 11$

Преобразование выполняется в два шага:
1. Сначала обе части исходного неравенства $c > d$ умножаются на положительное число $2$. Знак неравенства при этом сохраняется: $2c > 2d$.
2. Затем к обеим частям полученного неравенства прибавляется число $11$. При прибавлении одного и того же числа к обеим частям неравенства его знак также не меняется: $2c + 11 > 2d + 11$.

Ответ: Утверждение верно на основании свойств умножения на положительное число и прибавления числа к обеим частям неравенства.

г) $0,01c - 0,7 > 0,01d - 0,7$

Преобразование выполняется в два шага:
1. Обе части исходного неравенства $c > d$ умножаются на положительное число $0,01$. Знак неравенства сохраняется: $0,01c > 0,01d$.
2. Из обеих частей полученного неравенства вычитается число $0,7$. При вычитании одного и того же числа из обеих частей неравенства его знак не меняется: $0,01c - 0,7 > 0,01d - 0,7$.

Ответ: Утверждение верно на основании свойств умножения на положительное число и вычитания числа из обеих частей неравенства.

д) $1 - c < 1 - d$

Преобразование выполняется в два шага:
1. Обе части исходного неравенства $c > d$ умножаются на отрицательное число $-1$. Знак неравенства меняется на противоположный: $-c < -d$.
2. К обеим частям полученного неравенства прибавляется число $1$. Знак неравенства при этом не меняется: $1 - c < 1 - d$.

Ответ: Утверждение верно на основании свойств умножения на отрицательное число и прибавления числа к обеим частям неравенства.

е) $2 - \frac{c}{2} < 2 - \frac{d}{2}$

Преобразование выполняется в несколько шагов:
1. Сначала обе части исходного неравенства $c > d$ делятся на положительное число $2$. Знак неравенства сохраняется: $\frac{c}{2} > \frac{d}{2}$.
2. Затем обе части полученного неравенства умножаются на отрицательное число $-1$. Знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{c}{2} < -\frac{d}{2}$.
3. Наконец, к обеим частям прибавляется число $2$. Знак неравенства не меняется: $2 - \frac{c}{2} < 2 - \frac{d}{2}$.

Ответ: Утверждение верно на основании свойств деления на положительное число, умножения на отрицательное число и прибавления числа к обеим частям неравенства.