Номер 768, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Сложение и умножение числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 768, страница 172.

768. Пусть $3 < a < 4$ и $4 < b < 5$. Оцените:

а) $a + b$;

б) $a - b$;

в) $ab$;

г) $\frac{a}{b}$.

а) $a + b$;
Для того чтобы оценить сумму $a+b$, необходимо сложить почленно данные неравенства. Сложение неравенств одного знака является допустимой операцией.
Исходные неравенства:
$3 < a < 4$
$4 < b < 5$
Складываем левые и правые части соответственно:
$3 + 4 < a + b < 4 + 5$
$7 < a + b < 9$
Таким образом, значение суммы $a+b$ находится в интервале от 7 до 9.
Ответ: $7 < a + b < 9$

б) $a - b$;
Для оценки разности $a-b$ представим ее в виде суммы $a + (-b)$. Для этого сначала найдем интервал для $-b$.
Имеем неравенство $4 < b < 5$. Умножим все его части на $-1$. При умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-4 > -b > -5$
Запишем это неравенство в привычном виде (от меньшего к большему):
$-5 < -b < -4$
Теперь сложим почленно неравенство для $a$ и полученное неравенство для $-b$:
$3 < a < 4$
$-5 < -b < -4$
$3 + (-5) < a + (-b) < 4 + (-4)$
$-2 < a - b < 0$
Таким образом, значение разности $a-b$ находится в интервале от -2 до 0.
Ответ: $-2 < a - b < 0$

в) $ab$;
Для оценки произведения $ab$, поскольку все части данных неравенств $3 < a < 4$ и $4 < b < 5$ являются положительными числами, мы можем их почленно перемножить.
Исходные неравенства:
$3 < a < 4$
$4 < b < 5$
Перемножаем левые и правые части соответственно:
$3 \cdot 4 < ab < 4 \cdot 5$
$12 < ab < 20$
Таким образом, значение произведения $ab$ находится в интервале от 12 до 20.
Ответ: $12 < ab < 20$

г) $\frac{a}{b}$.
Для оценки частного $\frac{a}{b}$ представим его в виде произведения $a \cdot \frac{1}{b}$. Сначала найдем интервал для величины $\frac{1}{b}$.
Имеем неравенство $4 < b < 5$. Так как все его части положительны, мы можем взять обратные величины, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$\frac{1}{4} > \frac{1}{b} > \frac{1}{5}$
Запишем это неравенство в привычном виде (от меньшего к большему):
$\frac{1}{5} < \frac{1}{b} < \frac{1}{4}$
Теперь перемножим почленно неравенство для $a$ и полученное неравенство для $\frac{1}{b}$. Обе переменные ($a$ и $\frac{1}{b}$) находятся в интервалах положительных чисел, поэтому операция умножения допустима.
$3 < a < 4$
$\frac{1}{5} < \frac{1}{b} < \frac{1}{4}$
$3 \cdot \frac{1}{5} < a \cdot \frac{1}{b} < 4 \cdot \frac{1}{4}$
$\frac{3}{5} < \frac{a}{b} < 1$
Таким образом, значение частного $\frac{a}{b}$ находится в интервале от $\frac{3}{5}$ до 1.
Ответ: $\frac{3}{5} < \frac{a}{b} < 1$