Номер 770, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Сложение и умножение числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 770, страница 172.

770. Пользуясь тем, что $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$ и $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$, оцените:

а) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$;

б) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$.

а) Для того чтобы оценить выражение $\sqrt{2} + \sqrt{3}$, воспользуемся правилом сложения неравенств. У нас есть два неравенства:

$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$

$1,7 < \sqrt{3} < 1,8$

Сложим левые и правые части этих неравенств соответственно:

$1,4 + 1,7 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 1,5 + 1,8$

Выполнив сложение, получаем:

$3,1 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 3,3$

Ответ: $3,1 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 3,3$.

б) Чтобы оценить выражение $\sqrt{3} - \sqrt{2}$, воспользуемся правилом вычитания неравенств. Нам нужно из оценки для $\sqrt{3}$ вычесть оценку для $\sqrt{2}$.

Исходные неравенства:

$1,7 < \sqrt{3} < 1,8$

$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$

Чтобы вычесть второе неравенство из первого, мы можем умножить второе неравенство на -1 (при этом знаки неравенства изменятся на противоположные) и затем сложить его с первым. Умножим неравенство для $\sqrt{2}$ на -1:

$-1 \cdot 1,5 < -1 \cdot \sqrt{2} < -1 \cdot 1,4$

$-1,5 < -\sqrt{2} < -1,4$

Теперь сложим это неравенство с неравенством для $\sqrt{3}$:

$1,7 + (-1,5) < \sqrt{3} + (-\sqrt{2}) < 1,8 + (-1,4)$

$1,7 - 1,5 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 1,8 - 1,4$

Выполнив вычитание, получаем:

$0,2 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 0,4$

Ответ: $0,2 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 0,4$.