Номер 777, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Сложение и умножение числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 777, страница 173.

777. Докажите, что сумма длин двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы длин его диагоналей.

Пусть нам дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Его стороны — это отрезки $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$. Его диагонали — это отрезки $AC$ и $BD$. Поскольку четырехугольник является выпуклым, его диагонали пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой $O$.

Нам нужно доказать, что сумма длин двух противоположных сторон (например, $AB$ и $CD$) меньше суммы длин его диагоналей ($AC$ и $BD$). Математически это можно записать в виде неравенства:

$AB + CD < AC + BD$

Для доказательства воспользуемся свойством, известным как неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Рассмотрим два треугольника, которые образуются при пересечении диагоналей: $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

1. Для треугольника $\triangle AOB$ запишем неравенство треугольника: $OA + OB > AB$

2. Для треугольника $\triangle COD$ запишем неравенство треугольника: $OC + OD > CD$

Теперь сложим эти два неравенства. Сложим левые части с левыми, а правые — с правыми:

$(OA + OB) + (OC + OD) > AB + CD$

Сгруппируем слагаемые в левой части полученного неравенства:

$(OA + OC) + (OB + OD) > AB + CD$

Так как точка $O$ лежит на отрезке $AC$, то сумма длин отрезков $OA$ и $OC$ равна длине диагонали $AC$, то есть $OA + OC = AC$. Аналогично, точка $O$ лежит на отрезке $BD$, поэтому $OB + OD = BD$.

Произведем замену в нашем неравенстве:

$AC + BD > AB + CD$

Это и есть то, что требовалось доказать.

Аналогичное доказательство можно провести и для другой пары противоположных сторон ($BC$ и $AD$), рассмотрев треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$.

Ответ: Неравенство доказано. Сумма длин двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника действительно меньше суммы длин его диагоналей.