Номер 780, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Сложение и умножение числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 780, страница 174.

780. Упростите выражение

$(\frac{8x}{16 - 9x^2} + \frac{x}{3x-4}) : (1 - \frac{4 - 3x}{4 + 3x})$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку, сначала в скобках, а затем деление.

1. Упростим выражение в первой скобке: $ \left( \frac{8x}{16 - 9x^2} + \frac{x}{3x - 4} \right) $

Разложим знаменатель первой дроби $ 16 - 9x^2 $ на множители по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ 16 - 9x^2 = 4^2 - (3x)^2 = (4 - 3x)(4 + 3x) $.

Заметим, что знаменатель второй дроби $ 3x - 4 $ является противоположным выражению $ 4 - 3x $, то есть $ 3x - 4 = -(4 - 3x) $. Используем это для преобразования второй дроби:

$ \frac{x}{3x - 4} = \frac{x}{-(4 - 3x)} = -\frac{x}{4 - 3x} $.

Теперь сложение в скобках можно переписать как вычитание с одинаковыми частями в знаменателях:

$ \frac{8x}{(4 - 3x)(4 + 3x)} - \frac{x}{4 - 3x} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ (4 - 3x)(4 + 3x) $. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (4 + 3x) $:

$ \frac{8x}{(4 - 3x)(4 + 3x)} - \frac{x(4 + 3x)}{(4 - 3x)(4 + 3x)} = \frac{8x - x(4 + 3x)}{(4 - 3x)(4 + 3x)} $.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ 8x - 4x - 3x^2 = 4x - 3x^2 $.

Вынесем общий множитель $ x $ за скобки в числителе: $ x(4 - 3x) $.

Подставим полученный числитель обратно в дробь и сократим общий множитель $ (4 - 3x) $:

$ \frac{x(4 - 3x)}{(4 - 3x)(4 + 3x)} = \frac{x}{4 + 3x} $.

2. Упростим выражение во второй скобке: $ \left( 1 - \frac{4 - 3x}{4 + 3x} \right) $

Приведем к общему знаменателю $ 4 + 3x $, представив единицу как $ \frac{4 + 3x}{4 + 3x} $:

$ \frac{4 + 3x}{4 + 3x} - \frac{4 - 3x}{4 + 3x} = \frac{(4 + 3x) - (4 - 3x)}{4 + 3x} $.

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{4 + 3x - 4 + 3x}{4 + 3x} = \frac{6x}{4 + 3x} $.

3. Выполним деление результатов

Теперь разделим результат первого действия на результат второго:

$ \frac{x}{4 + 3x} : \frac{6x}{4 + 3x} $.

Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:

$ \frac{x}{4 + 3x} \cdot \frac{4 + 3x}{6x} $.

Сократим общие множители $ x $ и $ (4 + 3x) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{x}}{\cancel{4 + 3x}} \cdot \frac{\cancel{4 + 3x}}{6\cancel{x}} = \frac{1}{6} $.

Упрощение возможно при условии, что $ 16 - 9x^2 \neq 0 $, $ 3x - 4 \neq 0 $, $ 4 + 3x \neq 0 $ и делитель $ \frac{6x}{4 + 3x} \neq 0 $, что в совокупности дает ограничения $ x \neq \pm \frac{4}{3} $ и $ x \neq 0 $.

Ответ: $ \frac{1}{6} $.