Номер 781, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Сложение и умножение числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 781, страница 174.

781. Докажите, что:

а) $9a+\frac{1}{a} \ge 6$ при $a > 0$;

б) $25b+\frac{1}{b} \le -10$ при $b < 0$.

а) Требуется доказать, что $9a + \frac{1}{a} \ge 6$ при $a > 0$.

Для доказательства выполним следующие равносильные преобразования. Поскольку по условию $a > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $a$, при этом знак неравенства не изменится:

$9a \cdot a + \frac{1}{a} \cdot a \ge 6 \cdot a$

$9a^2 + 1 \ge 6a$

Перенесём все члены в левую часть:

$9a^2 - 6a + 1 \ge 0$

Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности, так как $9a^2 = (3a)^2$, $1 = 1^2$ и $6a = 2 \cdot 3a \cdot 1$. Таким образом, мы можем записать:

$(3a - 1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю). Следовательно, неравенство $(3a - 1)^2 \ge 0$ верно для любого действительного $a$, а значит и для всех $a > 0$. Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

б) Требуется доказать, что $25b + \frac{1}{b} \le -10$ при $b < 0$.

Для доказательства выполним следующие равносильные преобразования. Поскольку по условию $b < 0$, при умножении обеих частей неравенства на $b$ знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$25b \cdot b + \frac{1}{b} \cdot b \ge -10 \cdot b$

$25b^2 + 1 \ge -10b$

Перенесём все члены в левую часть:

$25b^2 + 10b + 1 \ge 0$

Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом суммы, так как $25b^2 = (5b)^2$, $1 = 1^2$ и $10b = 2 \cdot 5b \cdot 1$. Таким образом, мы можем записать:

$(5b + 1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной. Следовательно, неравенство $(5b + 1)^2 \ge 0$ верно для любого действительного $b$, а значит и для всех $b < 0$. Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Доказано.