Страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

779. Лист жести имеет форму квадрата. После того как от него отрезали полосу шириной 5 дм, площадь оставшейся части листа стала равной 6 дм$^2$. Каковы размеры первоначального листа жести?

Решение

Пусть сторона первоначального квадратного листа жести равна $x$ дм. Тогда его площадь составляет $x^2$ дм².

После того как от листа отрезали полосу шириной 5 дм, одна из сторон квадрата уменьшилась на 5 дм. Первоначальные размеры листа были $x$ на $x$. Новые размеры оставшейся части стали $x$ дм на $(x-5)$ дм. Эта оставшаяся часть представляет собой прямоугольник.

Площадь этого прямоугольника, согласно условию задачи, равна 6 дм². Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон, поэтому мы можем составить уравнение:

$x \cdot (x-5) = 6$

Для решения этого уравнения раскроем скобки и приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 5x = 6$

$x^2 - 5x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае, $a=1$, $b=-5$, $c=-6$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Поскольку $x$ представляет собой длину стороны листа, это значение не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -1$ не является решением задачи. Единственное подходящее значение — $x = 6$ дм.

Проверим это решение. Если первоначальный лист был квадратом со стороной 6 дм, то после отрезания полосы шириной 5 дм остался прямоугольник со сторонами 6 дм и $(6-5)=1$ дм. Его площадь равна $6 \cdot 1 = 6$ дм², что соответствует условию задачи.

Таким образом, первоначальный лист жести был квадратом с размерами 6 дм на 6 дм.

Ответ: размеры первоначального листа жести 6 дм × 6 дм.

780. Упростите выражение

$(\frac{8x}{16 - 9x^2} + \frac{x}{3x-4}) : (1 - \frac{4 - 3x}{4 + 3x})$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку, сначала в скобках, а затем деление.

1. Упростим выражение в первой скобке: $ \left( \frac{8x}{16 - 9x^2} + \frac{x}{3x - 4} \right) $

Разложим знаменатель первой дроби $ 16 - 9x^2 $ на множители по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ 16 - 9x^2 = 4^2 - (3x)^2 = (4 - 3x)(4 + 3x) $.

Заметим, что знаменатель второй дроби $ 3x - 4 $ является противоположным выражению $ 4 - 3x $, то есть $ 3x - 4 = -(4 - 3x) $. Используем это для преобразования второй дроби:

$ \frac{x}{3x - 4} = \frac{x}{-(4 - 3x)} = -\frac{x}{4 - 3x} $.

Теперь сложение в скобках можно переписать как вычитание с одинаковыми частями в знаменателях:

$ \frac{8x}{(4 - 3x)(4 + 3x)} - \frac{x}{4 - 3x} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ (4 - 3x)(4 + 3x) $. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (4 + 3x) $:

$ \frac{8x}{(4 - 3x)(4 + 3x)} - \frac{x(4 + 3x)}{(4 - 3x)(4 + 3x)} = \frac{8x - x(4 + 3x)}{(4 - 3x)(4 + 3x)} $.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ 8x - 4x - 3x^2 = 4x - 3x^2 $.

Вынесем общий множитель $ x $ за скобки в числителе: $ x(4 - 3x) $.

Подставим полученный числитель обратно в дробь и сократим общий множитель $ (4 - 3x) $:

$ \frac{x(4 - 3x)}{(4 - 3x)(4 + 3x)} = \frac{x}{4 + 3x} $.

2. Упростим выражение во второй скобке: $ \left( 1 - \frac{4 - 3x}{4 + 3x} \right) $

Приведем к общему знаменателю $ 4 + 3x $, представив единицу как $ \frac{4 + 3x}{4 + 3x} $:

$ \frac{4 + 3x}{4 + 3x} - \frac{4 - 3x}{4 + 3x} = \frac{(4 + 3x) - (4 - 3x)}{4 + 3x} $.

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{4 + 3x - 4 + 3x}{4 + 3x} = \frac{6x}{4 + 3x} $.

3. Выполним деление результатов

Теперь разделим результат первого действия на результат второго:

$ \frac{x}{4 + 3x} : \frac{6x}{4 + 3x} $.

Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:

$ \frac{x}{4 + 3x} \cdot \frac{4 + 3x}{6x} $.

Сократим общие множители $ x $ и $ (4 + 3x) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{x}}{\cancel{4 + 3x}} \cdot \frac{\cancel{4 + 3x}}{6\cancel{x}} = \frac{1}{6} $.

Упрощение возможно при условии, что $ 16 - 9x^2 \neq 0 $, $ 3x - 4 \neq 0 $, $ 4 + 3x \neq 0 $ и делитель $ \frac{6x}{4 + 3x} \neq 0 $, что в совокупности дает ограничения $ x \neq \pm \frac{4}{3} $ и $ x \neq 0 $.

Ответ: $ \frac{1}{6} $.

781. Докажите, что:

а) $9a+\frac{1}{a} \ge 6$ при $a > 0$;

б) $25b+\frac{1}{b} \le -10$ при $b < 0$.

а) Требуется доказать, что $9a + \frac{1}{a} \ge 6$ при $a > 0$.

Для доказательства выполним следующие равносильные преобразования. Поскольку по условию $a > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $a$, при этом знак неравенства не изменится:

$9a \cdot a + \frac{1}{a} \cdot a \ge 6 \cdot a$

$9a^2 + 1 \ge 6a$

Перенесём все члены в левую часть:

$9a^2 - 6a + 1 \ge 0$

Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности, так как $9a^2 = (3a)^2$, $1 = 1^2$ и $6a = 2 \cdot 3a \cdot 1$. Таким образом, мы можем записать:

$(3a - 1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю). Следовательно, неравенство $(3a - 1)^2 \ge 0$ верно для любого действительного $a$, а значит и для всех $a > 0$. Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

б) Требуется доказать, что $25b + \frac{1}{b} \le -10$ при $b < 0$.

Для доказательства выполним следующие равносильные преобразования. Поскольку по условию $b < 0$, при умножении обеих частей неравенства на $b$ знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$25b \cdot b + \frac{1}{b} \cdot b \ge -10 \cdot b$

$25b^2 + 1 \ge -10b$

Перенесём все члены в левую часть:

$25b^2 + 10b + 1 \ge 0$

Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом суммы, так как $25b^2 = (5b)^2$, $1 = 1^2$ и $10b = 2 \cdot 5b \cdot 1$. Таким образом, мы можем записать:

$(5b + 1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной. Следовательно, неравенство $(5b + 1)^2 \ge 0$ верно для любого действительного $b$, а значит и для всех $b < 0$. Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Доказано.