Номер 789, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Погрешность и точность приближения. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 789, страница 177.

789. Определяя массу мешка картофеля с точностью до $1 \text{ кг}$, нашли, что она равна $32 \text{ кг}$. Может ли масса этого мешка, измеренная с точностью до $0,1 \text{ кг}$, оказаться равной:

a) $31,4$;

б) $32,5$;

в) $33,2$;

г) $30,7$?

Основное условие задачи заключается в том, что масса мешка картофеля, равная 32 кг, определена с точностью до 1 кг. Это означает, что истинное значение массы m находится в некотором интервале вокруг 32 кг.

По определению, если величина A является приближением величины m с точностью до h, то абсолютная погрешность (модуль разности между истинным и приближенным значением) не превышает половины точности, то есть $|m - A| \le \frac{h}{2}$.

В нашем случае, приближенное значение A = 32 кг, а точность h = 1 кг. Подставив эти значения в формулу, получаем:

$|m - 32| \le \frac{1}{2}$

$|m - 32| \le 0,5$

Это неравенство можно записать в виде двойного неравенства:

$-0,5 \le m - 32 \le 0,5$

Чтобы найти диапазон для истинной массы m, прибавим 32 ко всем частям неравенства:

$32 - 0,5 \le m \le 32 + 0,5$

$31,5 \le m \le 32,5$

Таким образом, истинная масса мешка картофеля находится в пределах от 31,5 кг до 32,5 кг включительно. Теперь проверим, могут ли предложенные значения массы, измеренные с большей точностью, оказаться истинной массой мешка.

а) 31,4

Проверим, попадает ли значение 31,4 кг в найденный интервал $[31,5; 32,5]$.
Поскольку $31,4 < 31,5$, это значение не входит в допустимый диапазон. Если бы истинная масса была 31,4 кг, то при округлении до целых килограммов мы бы получили 31 кг, а не 32 кг.
Ответ: не может.

б) 32,5

Проверим, попадает ли значение 32,5 кг в найденный интервал $[31,5; 32,5]$.
Поскольку $31,5 \le 32,5 \le 32,5$, это значение является крайней точкой интервала и, согласно формальному определению точности, входит в него. Следовательно, масса мешка может быть равна 32,5 кг. Стоит отметить, что при использовании стандартных правил округления (когда число x,5 округляется в большую сторону), значение 32,5 кг было бы округлено до 33 кг. Однако в контексте понятия "точность измерения" используется именно замкнутый интервал.
Ответ: может.

в) 33,2

Проверим, попадает ли значение 33,2 кг в найденный интервал $[31,5; 32,5]$.
Поскольку $33,2 > 32,5$, это значение не входит в допустимый диапазон. Если бы истинная масса была 33,2 кг, то при округлении до целых килограммов мы бы получили 33 кг.
Ответ: не может.

г) 30,7

Проверим, попадает ли значение 30,7 кг в найденный интервал $[31,5; 32,5]$.
Поскольку $30,7 < 31,5$, это значение не входит в допустимый диапазон. Если бы истинная масса была 30,7 кг, то при округлении до целых килограммов мы бы получили 31 кг.
Ответ: не может.