Номер 732, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 732, страница 164.

732. (Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, если к её числителю и знаменателю прибавить по 1?

1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь $\frac{a}{b}$. (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому — дроби, у которых числитель больше знаменателя.)

2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.

3) Проведите доказательство: один — для случая $a < b$, а другой — для случая $a > b$.

4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.

1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь $\frac{a}{b}$. (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому — дроби, у которых числитель больше знаменателя.)

Случай 1: Числитель меньше знаменателя ($a < b$)

• Возьмем правильную дробь $\frac{1}{2}$. Прибавим по 1 к числителю и знаменателю: $\frac{1+1}{2+1} = \frac{2}{3}$. Сравним исходную и новую дроби: $\frac{1}{2} = 0,5$, а $\frac{2}{3} \approx 0,667$. Поскольку $0,667 > 0,5$, дробь увеличилась.
• Возьмем другую правильную дробь $\frac{3}{5}$. Новая дробь будет $\frac{3+1}{5+1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Сравним $\frac{3}{5} = 0,6$ и $\frac{2}{3} \approx 0,667$. Дробь снова увеличилась.

Случай 2: Числитель больше знаменателя ($a > b$)

• Возьмем неправильную дробь $\frac{3}{2}$. Прибавим по 1 к числителю и знаменателю: $\frac{3+1}{2+1} = \frac{4}{3}$. Сравним дроби: $\frac{3}{2} = 1,5$, а $\frac{4}{3} \approx 1,333$. Поскольку $1,333 < 1,5$, дробь уменьшилась.
• Возьмем другую неправильную дробь $\frac{5}{3}$. Новая дробь будет $\frac{5+1}{3+1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Сравним $\frac{5}{3} \approx 1,667$ и $\frac{3}{2} = 1,5$. Дробь снова уменьшилась.

Ответ: Примеры показывают, что если к числителю и знаменателю правильной дроби ($a < b$) прибавить 1, дробь увеличивается. Если же это сделать с неправильной дробью ($a > b$), она уменьшается.

2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.

На основе наблюдений из пункта 1 можно выдвинуть следующие гипотезы:

• Гипотеза для случая $a < b$: Если к числителю и знаменателю правильной дроби $\frac{a}{b}$ прибавить по 1, то полученная дробь $\frac{a+1}{b+1}$ будет больше исходной дроби.
• Гипотеза для случая $a > b$: Если к числителю и знаменателю неправильной дроби $\frac{a}{b}$ прибавить по 1, то полученная дробь $\frac{a+1}{b+1}$ будет меньше исходной дроби.

Ответ: Гипотеза для правильной дроби ($a < b$): $\frac{a+1}{b+1} > \frac{a}{b}$. Гипотеза для неправильной дроби ($a > b$): $\frac{a+1}{b+1} < \frac{a}{b}$.

3) Проведите доказательство: один — для случая $a < b$, а другой — для случая $a > b$.

Для доказательства гипотез необходимо сравнить дробь $\frac{a}{b}$ с дробью $\frac{a+1}{b+1}$. Удобнее всего это сделать, найдя их разность: $\frac{a+1}{b+1} - \frac{a}{b}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $b(b+1)$:

$\frac{a+1}{b+1} - \frac{a}{b} = \frac{(a+1)b}{b(b+1)} - \frac{a(b+1)}{b(b+1)} = \frac{ab+b - (ab+a)}{b(b+1)} = \frac{ab+b-ab-a}{b(b+1)} = \frac{b-a}{b(b+1)}$

Знак этой разности определяет, какая из дробей больше.

Доказательство для случая $a < b$ (правильная дробь)

Рассмотрим полученное выражение $\frac{b-a}{b(b+1)}$:

• Знаменатель $b(b+1)$ является произведением двух натуральных чисел, поэтому он всегда положителен.
• Числитель $b-a$. Так как по условию $a < b$, то разность $b-a$ будет положительным числом ($b-a > 0$).

Поскольку и числитель, и знаменатель положительны, вся дробь положительна. Следовательно, $\frac{b-a}{b(b+1)} > 0$.

Из этого следует, что $\frac{a+1}{b+1} - \frac{a}{b} > 0$, что равносильно $\frac{a+1}{b+1} > \frac{a}{b}$. Гипотеза доказана.

Доказательство для случая $a > b$ (неправильная дробь)

Снова рассмотрим выражение $\frac{b-a}{b(b+1)}$:

• Знаменатель $b(b+1)$ также положителен.
• Числитель $b-a$. Так как по условию $a > b$, то разность $b-a$ будет отрицательным числом ($b-a < 0$).

Поскольку числитель отрицателен, а знаменатель положителен, вся дробь отрицательна. Следовательно, $\frac{b-a}{b(b+1)} < 0$.

Из этого следует, что $\frac{a+1}{b+1} - \frac{a}{b} < 0$, что равносильно $\frac{a+1}{b+1} < \frac{a}{b}$. Гипотеза доказана.

Ответ: Доказано, что для любых натуральных $a$ и $b$, если $a < b$, то прибавление 1 к числителю и знаменателю увеличивает дробь. Если $a > b$, то такая операция уменьшает дробь. (Стоит отметить, что если $a=b$, то дробь равна 1, и после прибавления 1 к числителю и знаменателю она останется равной 1, то есть не изменится).

4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.

Представленные выше рассуждения и доказательства математически корректны. Они основаны на общем методе сравнения дробей через вычитание. Анализ знака разности $\frac{b-a}{b(b+1)}$ однозначно определяет результат для каждого из двух случаев ($a < b$ и $a > b$).

Ответ: Рассуждения и доказательства верны.