Номер 737, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 737, страница 164.

737. Верно ли утверждение:

а) неравенство $a^2 > 2a - 3$ верно при любом значении $a$;

б) неравенство $4a - 4 < a^2$ верно при любом значении $a$;

в) неравенство $8a - 70 < a^2$ верно при любом значении $a$?

Если утверждение неверно, приведите для него контрпример.

а) Чтобы проверить, верно ли неравенство $a^2 > 2a - 3$ при любом значении $a$, перенесём все его члены в одну сторону: $a^2 - 2a + 3 > 0$.Рассмотрим левую часть как квадратичную функцию $y(a) = a^2 - 2a + 3$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы определить, всегда ли значение функции положительно, найдём её наименьшее значение, выделив полный квадрат:$a^2 - 2a + 3 = (a^2 - 2a + 1) + 2 = (a - 1)^2 + 2$.Поскольку $(a-1)^2$ является квадратом, его наименьшее значение равно 0 (при $a=1$). Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $0 + 2 = 2$.Так как $2 > 0$, то и выражение $(a - 1)^2 + 2$ всегда больше 0. Таким образом, неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: утверждение верно.

б) Рассмотрим неравенство $4a - 4 < a^2$. Перенесём все члены в одну сторону: $a^2 - 4a + 4 > 0$.Преобразуем левую часть, используя формулу квадрата разности:$(a - 2)^2 > 0$.Выражение $(a - 2)^2$ равно квадрату действительного числа. Оно всегда неотрицательно, то есть $(a - 2)^2 \ge 0$.Неравенство будет нарушаться в том случае, когда левая часть не строго больше нуля, а равна нулю. Это происходит при $a - 2 = 0$, то есть при $a = 2$.Если $a = 2$, то неравенство $(2 - 2)^2 > 0$ превращается в $0 > 0$, что является ложным.Значит, утверждение неверно.Контрпример: при $a = 2$ исходное неравенство $4(2) - 4 < 2^2$ даёт $4 < 4$, что неверно.

Ответ: утверждение неверно, контрпример $a=2$.

в) Проверим, верно ли неравенство $8a - 70 < a^2$ при любом значении $a$. Перенесём все члены в одну сторону: $a^2 - 8a + 70 > 0$.Рассмотрим левую часть как квадратичную функцию $y(a) = a^2 - 8a + 70$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Выделим полный квадрат, чтобы найти её наименьшее значение:$a^2 - 8a + 70 = (a^2 - 8a + 16) - 16 + 70 = (a - 4)^2 + 54$.Наименьшее значение выражения $(a - 4)^2$ равно 0 (при $a=4$). Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $0 + 54 = 54$.Так как $54 > 0$, то выражение $(a - 4)^2 + 54$ всегда больше 0. Таким образом, неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: утверждение верно.