Номер 741, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 741, страница 165.

741. К каждому из чисел 0, 1, 2, 3 прибавили одно и то же число $k$. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности чисел с произведением средних её членов.

Пусть даны числа 0, 1, 2, 3. К каждому из них прибавили одно и то же число $k$. В результате получили новую последовательность чисел:

$0 + k, \quad 1 + k, \quad 2 + k, \quad 3 + k$

Крайними членами этой последовательности являются первый и четвертый: $(0 + k)$ и $(3 + k)$.

Средними членами этой последовательности являются второй и третий: $(1 + k)$ и $(2 + k)$.

Найдем произведение крайних членов. Обозначим его $P_{крайних}$:

$P_{крайних} = (0 + k) \cdot (3 + k) = k \cdot (3 + k) = 3k + k^2$

Теперь найдем произведение средних членов. Обозначим его $P_{средних}$:

$P_{средних} = (1 + k) \cdot (2 + k) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot k + k \cdot 2 + k \cdot k = 2 + k + 2k + k^2 = 2 + 3k + k^2$

Теперь сравним полученные произведения. Для этого найдем их разность:

$P_{средних} - P_{крайних} = (k^2 + 3k + 2) - (k^2 + 3k)$

Раскроем скобки:

$k^2 + 3k + 2 - k^2 - 3k = (k^2 - k^2) + (3k - 3k) + 2 = 2$

Разность произведений является положительным числом, равным 2. Это означает, что произведение средних членов всегда больше произведения крайних членов на 2, при любом значении $k$.

Ответ: произведение средних членов получившейся последовательности на 2 больше, чем произведение ее крайних членов.