Номер 740, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 740, страница 165.

740. Что больше: $a^3 + b^3$ или $ab(a + b)$, если $a$ и $b$ — неравные положительные числа?

Чтобы определить, какое из выражений больше, $a^3 + b^3$ или $ab(a + b)$, найдем их разность и проанализируем ее знак. Условия задачи: $a$ и $b$ — неравные положительные числа, то есть $a > 0$, $b > 0$ и $a \ne b$.

Рассмотрим разность данных выражений:

$(a^3 + b^3) - ab(a + b)$

Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b)$

Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b) \cdot ((a^2 - ab + b^2) - ab)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(a + b)(a^2 - 2ab + b^2)$

Выражение $a^2 - 2ab + b^2$ является формулой квадрата разности $(a - b)^2$. Таким образом, разность можно записать в виде:

$(a + b)(a - b)^2$

Теперь определим знак этого произведения на основе заданных условий:

1. Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, их сумма $(a + b)$ является положительным числом: $(a + b) > 0$.

2. Поскольку $a \ne b$, разность $(a - b)$ не равна нулю. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда положителен. Следовательно, $(a - b)^2 > 0$.

Разность исходных выражений представляет собой произведение двух строго положительных множителей, $(a + b)$ и $(a - b)^2$. Произведение двух положительных чисел всегда положительно.

Значит, $(a + b)(a - b)^2 > 0$.

Отсюда следует, что разность $(a^3 + b^3) - ab(a + b)$ положительна, а это означает, что уменьшаемое больше вычитаемого:

$a^3 + b^3 > ab(a + b)$

Ответ: $a^3 + b^3$ больше, чем $ab(a + b)$.