Номер 745, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 745, страница 165.

745. Решите уравнение:

а) $ \frac{5}{x} = 2 - \frac{3}{x-2} $;

б) $ \frac{3}{2x-1} = 5x-9. $

а)

Дано уравнение:
$\frac{5}{x} = 2 - \frac{3}{x-2}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю, поэтому:
$x \neq 0$ и $x - 2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:
$\frac{5}{x} - 2 + \frac{3}{x-2} = 0$

Теперь приведем все члены к общему знаменателю, который равен $x(x-2)$:
$\frac{5(x-2)}{x(x-2)} - \frac{2x(x-2)}{x(x-2)} + \frac{3x}{x(x-2)} = 0$

Поскольку знаменатель не может быть равен нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числитель к нулю:
$5(x-2) - 2x(x-2) + 3x = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$5x - 10 - 2x^2 + 4x + 3x = 0$
Сгруппируем подобные члены:
$-2x^2 + (5+4+3)x - 10 = 0$
$-2x^2 + 12x - 10 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на $-2$:
$x^2 - 6x + 5 = 0$

Получилось приведенное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 6$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 5$
Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Также можно решить через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 = 4^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 4}{2}$
$x_1 = \frac{6+4}{2} = 5$
$x_2 = \frac{6-4}{2} = 1$

Оба корня, $1$ и $5$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 2$).

Ответ: $1; 5$.

б)

Дано уравнение:
$\frac{3}{2x-1} = 5x - 9$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$2x - 1 \neq 0 \implies 2x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{2}$

В области допустимых значений можно умножить обе части уравнения на знаменатель $(2x-1)$:
$3 = (5x - 9)(2x - 1)$

Раскроем скобки в правой части:
$3 = 5x \cdot 2x - 5x \cdot 1 - 9 \cdot 2x + 9 \cdot 1$
$3 = 10x^2 - 5x - 18x + 9$
$3 = 10x^2 - 23x + 9$

Перенесем все в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$10x^2 - 23x + 9 - 3 = 0$
$10x^2 - 23x + 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 6 = 529 - 240 = 289$
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

Теперь найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 \pm 17}{2 \cdot 10} = \frac{23 \pm 17}{20}$
$x_1 = \frac{23 + 17}{20} = \frac{40}{20} = 2$
$x_2 = \frac{23 - 17}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0.3$

Оба корня, $2$ и $0.3$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \frac{1}{2}$).

Ответ: $0.3; 2$.