Страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

663. Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна $116 \text{ см}^2$. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим смежные стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

Согласно условию, периметр прямоугольника равен 28 см. Формула периметра: $P = 2(a + b)$. Подставим известное значение в формулу: $2(a + b) = 28$ Разделив обе части уравнения на 2, получим первое уравнение: $a + b = 14$

Также по условию, сумма площадей квадратов, построенных на этих сторонах, равна 116 см². Площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$, а площадь квадрата со стороной $b$ равна $b^2$. Следовательно, мы получаем второе уравнение: $a^2 + b^2 = 116$

Теперь необходимо решить систему из двух уравнений: $$ \begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 116 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим переменную $b$ через $a$: $b = 14 - a$

Подставим это выражение для $b$ во второе уравнение системы: $a^2 + (14 - a)^2 = 116$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $a^2 + (14^2 - 2 \cdot 14 \cdot a + a^2) = 116$ $a^2 + 196 - 28a + a^2 = 116$

Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$: $2a^2 - 28a + 196 - 116 = 0$ $2a^2 - 28a + 80 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2: $a^2 - 14a + 40 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Согласно ей, сумма корней уравнения равна коэффициенту при $a$ с противоположным знаком, то есть 14, а их произведение равно свободному члену, то есть 40. Подбором находим корни: $a_1 = 10$ и $a_2 = 4$. (Проверка: $10 + 4 = 14$ и $10 \cdot 4 = 40$).

Теперь найдем соответствующие значения для второй стороны $b$, используя формулу $b = 14 - a$:
- Если $a = 10$ см, то $b = 14 - 10 = 4$ см.
- Если $a = 4$ см, то $b = 14 - 4 = 10$ см.
В обоих случаях стороны прямоугольника равны 10 см и 4 см.

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям задачи:
Периметр: $P = 2(10 + 4) = 2 \cdot 14 = 28$ см. (Верно)
Сумма площадей квадратов: $10^2 + 4^2 = 100 + 16 = 116$ см². (Верно)

Ответ: стороны прямоугольника равны 4 см и 10 см.

664. Фотографическая карточка размером $12 \times 18$ см наклеена на лист так, что получилась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если известно, что фотокарточка вместе с рамкой занимает площадь $280 \text{ см}^2$.

Пусть $x$ см — искомая ширина рамки.

Размеры фотографической карточки составляют $12$ см в ширину и $18$ см в длину.

Когда карточку наклеили на лист, образовалась рамка одинаковой ширины $x$ со всех сторон. Это означает, что к первоначальной ширине и длине карточки добавилось по $x$ см с каждой из двух сторон.

Таким образом, новые размеры листа (фотокарточка вместе с рамкой) будут:

• Новая ширина: $12 + x + x = (12 + 2x)$ см.
• Новая длина: $18 + x + x = (18 + 2x)$ см.

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины на ширину. По условию задачи, общая площадь фотокарточки с рамкой равна $280$ см². Можем составить уравнение:

$(12 + 2x)(18 + 2x) = 280$

Раскроем скобки, чтобы решить полученное уравнение:

$12 \cdot 18 + 12 \cdot 2x + 18 \cdot 2x + 2x \cdot 2x = 280$

$216 + 24x + 36x + 4x^2 = 280$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$4x^2 + 60x + 216 - 280 = 0$

$4x^2 + 60x - 64 = 0$

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 4:

$x^2 + 15x - 16 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 + 17}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-15 - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 - 17}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку ширина рамки $x$ является геометрической величиной, она не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -16$ не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственное подходящее решение — $x = 1$.

Проверка:

Если ширина рамки равна $1$ см, то новые размеры листа будут:

Ширина: $12 + 2 \cdot 1 = 14$ см.

Длина: $18 + 2 \cdot 1 = 20$ см.

Площадь: $14 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 280$ см².

Полученная площадь совпадает с данной в условии, значит, решение верное.

Ответ: ширина рамки равна 1 см.

665. Цветочная клумба, имеющая форму прямоугольника, окружена дерновым бордюром, ширина которого всюду одинакова. Клумба вместе с бордюром образует прямоугольник, длина которого 4,5 м, а ширина 2,5 м. Найдите ширину бордюра, если известно, что его площадь равна $3,25 \text{ м}^2$.

Пусть $x$ — искомая ширина дернового бордюра в метрах.

Цветочная клумба вместе с бордюром образует большой прямоугольник. Согласно условию, его размеры:
Длина $L_{общ} = 4,5$ м
Ширина $W_{общ} = 2,5$ м

Площадь этого большого прямоугольника ($S_{общ}$) вычисляется как произведение длины на ширину:
$S_{общ} = L_{общ} \times W_{общ} = 4,5 \times 2,5 = 11,25$ м².

Сама цветочная клумба является внутренним прямоугольником. Поскольку бордюр имеет одинаковую ширину $x$ со всех сторон, размеры клумбы будут меньше размеров большого прямоугольника на $2x$ по каждой стороне (ширина бордюра сверху и снизу, слева и справа).
Длина клумбы: $L_{кл} = 4,5 - 2x$ м.
Ширина клумбы: $W_{кл} = 2,5 - 2x$ м.

Площадь бордюра ($S_{бордюра}$) равна разности площадей большого прямоугольника и цветочной клумбы:
$S_{бордюра} = S_{общ} - S_{кл} = S_{общ} - (L_{кл} \times W_{кл})$.

По условию задачи, $S_{бордюра} = 3,25$ м². Подставим все известные значения в уравнение:
$3,25 = 11,25 - (4,5 - 2x)(2,5 - 2x)$.

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим его:
$(4,5 - 2x)(2,5 - 2x) = 11,25 - 3,25$
$(4,5 - 2x)(2,5 - 2x) = 8$.

Раскроем скобки, чтобы получить квадратное уравнение:
$4,5 \cdot 2,5 - 4,5 \cdot 2x - 2,5 \cdot 2x + (2x) \cdot (2x) = 8$
$11,25 - 9x - 5x + 4x^2 = 8$
$4x^2 - 14x + 11,25 - 8 = 0$
$4x^2 - 14x + 3,25 = 0$.

Для решения квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3,25 = 196 - 16 \cdot 3,25 = 196 - 52 = 144$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые мы находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{14 + 12}{8} = \frac{26}{8} = 3,25$.
$x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{14 - 12}{8} = \frac{2}{8} = 0,25$.

Мы получили два возможных значения для ширины бордюра. Однако ширина бордюра $x$ не может быть такой, чтобы размеры внутренней клумбы стали отрицательными. Ширина всего участка равна $2,5$ м. Общая ширина бордюров по этой стороне равна $2x$. Следовательно, должно выполняться условие $2x < 2,5$ м, или $x < 1,25$ м.
Корень $x_1 = 3,25$ м не удовлетворяет этому условию ($3,25 > 1,25$), поэтому он является посторонним.
Корень $x_2 = 0,25$ м удовлетворяет условию ($0,25 < 1,25$).
Таким образом, единственное возможное значение ширины бордюра — 0,25 м.

Ответ: 0,25 м.

666. Старинная задача.

Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этом он потерял столько процентов, сколько стоила сама лошадь. Спрашивается: за какую сумму он её купил?

Обозначим первоначальную стоимость лошади, за которую её купили, как $x$ пистолей.

Согласно условию задачи, лошадь продали за 24 пистоля. Следовательно, убыток (потеря) от продажи составил $(x - 24)$ пистоля.

Также в условии сказано, что понесённый убыток в процентах равен первоначальной стоимости лошади, то есть он составляет $x\%$. Сумму этого убытка можно выразить как $x\%$ от первоначальной цены $x$. Математически это записывается так: Убыток = $x \cdot \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$

Теперь мы можем приравнять два выражения для убытка и составить уравнение: $x - 24 = \frac{x^2}{100}$

Для решения этого уравнения умножим обе части на 100, чтобы избавиться от знаменателя, и приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $100(x - 24) = x^2$ $100x - 2400 = x^2$ $x^2 - 100x + 2400 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. В нашем случае коэффициенты: $a=1$, $b=-100$, $c=2400$.

Вычислим дискриминант ($D$): $D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 10000 - 9600 = 400$

Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их: $x_1 = \frac{-(-100) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{100 + 20}{2} = \frac{120}{2} = 60$ $x_2 = \frac{-(-100) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{100 - 20}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Мы получили два возможных положительных значения для первоначальной стоимости лошади. Проверим оба варианта, чтобы убедиться, что они соответствуют условиям задачи.

Вариант 1: Первоначальная цена $x = 60$ пистолей.
Процент потерь равен 60%. Сумма убытка составляет $60 \cdot \frac{60}{100} = 36$ пистолей.
Цена продажи: $60 - 36 = 24$ пистоля. Этот результат совпадает с условием задачи.

Вариант 2: Первоначальная цена $x = 40$ пистолей.
Процент потерь равен 40%. Сумма убытка составляет $40 \cdot \frac{40}{100} = 16$ пистолей.
Цена продажи: $40 - 16 = 24$ пистоля. Этот результат также совпадает с условием задачи.

Таким образом, задача имеет два правильных решения.

Ответ: лошадь была куплена за 40 пистолей или за 60 пистолей.

667. Дно ящика — прямоугольник, ширина которого в 2 раза меньше его длины. Высота ящика 0,5 м. Найдите объём ящика, если известно, что площадь его дна на $1,08 \text{ м}^2$ меньше площади боковых стенок.

Пусть $w$ — ширина дна ящика в метрах, тогда $l$ — его длина в метрах. Согласно условию, ширина в 2 раза меньше длины, следовательно, $l = 2w$. Высота ящика $h = 0,5$ м.

Площадь дна ящика ($S_{дна}$) представляет собой площадь прямоугольника и вычисляется по формуле:
$S_{дна} = l \cdot w = (2w) \cdot w = 2w^2$

Площадь боковых стенок ($S_{бок}$) — это площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, которая равна произведению периметра основания на высоту:
Периметр основания $P = 2(l + w) = 2(2w + w) = 2(3w) = 6w$.
$S_{бок} = P \cdot h = 6w \cdot 0,5 = 3w$.

По условию задачи, площадь дна на $1,08$ м² меньше площади боковых стенок. Это можно записать в виде уравнения:
$S_{бок} - S_{дна} = 1,08$
Подставим в это уравнение выражения для площадей, которые мы получили ранее:
$3w - 2w^2 = 1,08$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2w^2 - 3w + 1,08 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ :
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1,08 = 9 - 8,64 = 0,36$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:
$w_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{0,36}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 0,6}{4} = \frac{3,6}{4} = 0,9$ м
$w_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{0,36}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 0,6}{4} = \frac{2,4}{4} = 0,6$ м

Оба корня положительны, значит, существуют два возможных варианта размеров ящика. Найдем объём ($V$) для каждого из них. Объём ящика вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$.
$V = (2w) \cdot w \cdot 0,5 = w^2$.

1. Если ширина $w_1 = 0,9$ м, то объём равен:
$V_1 = (0,9)^2 = 0,81$ м³

2. Если ширина $w_2 = 0,6$ м, то объём равен:
$V_2 = (0,6)^2 = 0,36$ м³

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: объём ящика может быть равен 0,81 м³ или 0,36 м³.

668. Имеется лист картона прямоугольной формы, длина которого в 1,5 раза больше его ширины. Из него можно изготовить открытую коробку объёмом $6080\text{ см}^3$, вырезав по углам картона квадраты со стороной 8 см. Найдите размеры — длину и ширину листа картона.

Пусть ширина листа картона равна $x$ см. Согласно условию, длина листа в 1,5 раза больше его ширины, следовательно, длина листа равна $1.5x$ см.

Для изготовления открытой коробки по углам листа вырезают квадраты со стороной 8 см. После вырезания квадратов и сгибания сторон получается коробка со следующими размерами:

• Высота коробки, $h$, равна стороне вырезанного квадрата: $h = 8$ см.
• Длина основания коробки, $l_{коробки}$, равна первоначальной длине листа минус две стороны вырезанных квадратов (по одной с каждой стороны): $l_{коробки} = 1.5x - 2 \cdot 8 = 1.5x - 16$ см.
• Ширина основания коробки, $w_{коробки}$, равна первоначальной ширине листа минус две стороны вырезанных квадратов: $w_{коробки} = x - 2 \cdot 8 = x - 16$ см.

Размеры основания коробки должны быть положительными числами, поэтому $x - 16 > 0$, откуда $x > 16$ см.

Объём прямоугольного параллелепипеда (коробки) вычисляется по формуле $V = l_{коробки} \cdot w_{коробки} \cdot h$. По условию, объём коробки равен 6080 см³. Подставим известные значения в формулу:

$(1.5x - 16)(x - 16) \cdot 8 = 6080$

Теперь решим полученное уравнение. Разделим обе части на 8:

$(1.5x - 16)(x - 16) = \frac{6080}{8}$

$(1.5x - 16)(x - 16) = 760$

Раскроем скобки в левой части:

$1.5x^2 - 1.5x \cdot 16 - 16x + 16 \cdot 16 = 760$

$1.5x^2 - 24x - 16x + 256 = 760$

$1.5x^2 - 40x + 256 - 760 = 0$

$1.5x^2 - 40x - 504 = 0$

Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения на 2:

$3x^2 - 80x - 1008 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-80)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1008) = 6400 + 12 \cdot 1008 = 6400 + 12096 = 18496$

$\sqrt{D} = \sqrt{18496} = 136$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{80 + 136}{2 \cdot 3} = \frac{216}{6} = 36$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{80 - 136}{2 \cdot 3} = \frac{-56}{6} = -\frac{28}{3}$

Так как $x$ — это ширина листа картона, она не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2$ не является решением задачи. Проверим корень $x_1=36$ на соответствие условию $x > 16$. Так как $36 > 16$, это решение нам подходит.

Итак, ширина листа картона равна 36 см.

Теперь найдем длину листа картона:

Длина = $1.5 \cdot x = 1.5 \cdot 36 = 54$ см.

Ответ: ширина листа картона 36 см, длина листа картона 54 см.

669. Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 919. Найдите эти числа.

Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда следующее за ним, большее число, равно $n+1$. По условию задачи разность их кубов равна 919. Составим и решим уравнение:

$(n+1)^3 - n^3 = 919$

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(n^3 + 3n^2 \cdot 1 + 3n \cdot 1^2 + 1^3) - n^3 = 919$

$n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 919$

Приведем подобные слагаемые:

$3n^2 + 3n + 1 = 919$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3n^2 + 3n + 1 - 919 = 0$

$3n^2 + 3n - 918 = 0$

Для удобства разделим обе части уравнения на 3:

$n^2 + n - 306 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-306) = 1 + 1224 = 1225$

Найдем корни уравнения:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 35}{2}$

$n_1 = \frac{-1 + 35}{2} = \frac{34}{2} = 17$

$n_2 = \frac{-1 - 35}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Так как по условию числа натуральные, то корень $n = -18$ не является решением задачи. Следовательно, меньшее из чисел равно 17.

Тогда большее число равно $17 + 1 = 18$.

Проверка: $18^3 - 17^3 = 5832 - 4913 = 919$.

Ответ: 17 и 18.

670. Разность кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел равна 866. Найдите эти числа.

Пусть меньшее из двух последовательных нечётных натуральных чисел равно $n$. Поскольку числа нечётные и последовательные, разница между ними равна 2. Следовательно, большее число равно $n+2$.

По условию задачи, разность их кубов равна 866. Составим уравнение, вычитая куб меньшего числа из куба большего:

$(n+2)^3 - n^3 = 866$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 2 + 3 \cdot n \cdot 2^2 + 2^3) - n^3 = 866$

$n^3 + 6n^2 + 12n + 8 - n^3 = 866$

Упростим выражение, сократив $n^3$ и $-n^3$:

$6n^2 + 12n + 8 = 866$

Перенесём постоянный член в правую часть уравнения:

$6n^2 + 12n = 866 - 8$

$6n^2 + 12n = 858$

Получилось квадратное уравнение. Для упрощения разделим обе части уравнения на 6:

$n^2 + 2n = 143$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$n^2 + 2n - 143 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-143) = 4 + 572 = 576$

Найдём корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-2 + \sqrt{576}}{2} = \frac{-2 + 24}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$n_2 = \frac{-2 - \sqrt{576}}{2} = \frac{-2 - 24}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

Согласно условию, мы ищем натуральные числа, то есть положительные целые. Корень $n_2 = -13$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи.

Следовательно, меньшее из искомых чисел равно $n_1 = 11$. Это нечётное натуральное число.

Тогда большее число равно $n + 2 = 11 + 2 = 13$.

Выполним проверку:

$13^3 - 11^3 = 2197 - 1331 = 866$

Разность кубов действительно равна 866.

Ответ: 11 и 13.

671. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

a) $x^2 - 5\sqrt{2}x + 12 = 0;$

б) $x^2 + 2\sqrt{3}x - 72 = 0;$

в) $y^2 - 6y + 7 = 0;$

г) $p^2 - 10p + 7 = 0.$

а) Решим уравнение $x^2-5\sqrt{2}x+12=0$.
Это приведенное квадратное уравнение, для которого коэффициенты равны $a=1$, $b=-5\sqrt{2}$, $c=12$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = (25 \cdot 2) - 48 = 50 - 48 = 2$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5\sqrt{2}) + \sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.
$x_2 = \frac{-(-5\sqrt{2}) - \sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета.
Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ должны выполняться равенства: $x_1+x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$.
В нашем уравнении $p = -5\sqrt{2}$ и $q=12$.
Проверяем сумму корней: $x_1 + x_2 = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$. Это равно $-p = -(-5\sqrt{2}) = 5\sqrt{2}$. Равенство выполняется.
Проверяем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 6 \cdot 2 = 12$. Это равно $q=12$. Равенство выполняется.
Оба условия выполнены, следовательно, корни найдены верно.
Ответ: $x_1 = 3\sqrt{2}$, $x_2 = 2\sqrt{2}$.

б) Решим уравнение $x^2+2\sqrt{3}x-72=0$.
Это приведенное квадратное уравнение, для которого коэффициенты равны $a=1$, $b=2\sqrt{3}$, $c=-72$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = (4 \cdot 3) + 288 = 12 + 288 = 300$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2\sqrt{3} + \sqrt{300}}{2 \cdot 1} = \frac{-2\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.
$x_2 = \frac{-2\sqrt{3} - \sqrt{300}}{2 \cdot 1} = \frac{-2\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{2} = \frac{-12\sqrt{3}}{2} = -6\sqrt{3}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета.
В нашем уравнении $p = 2\sqrt{3}$ и $q=-72$.
Проверяем сумму корней: $x_1 + x_2 = 4\sqrt{3} + (-6\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$. Это равно $-p = -(2\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$. Равенство выполняется.
Проверяем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4\sqrt{3} \cdot (-6\sqrt{3}) = -24 \cdot 3 = -72$. Это равно $q=-72$. Равенство выполняется.
Оба условия выполнены, следовательно, корни найдены верно.
Ответ: $x_1 = 4\sqrt{3}$, $x_2 = -6\sqrt{3}$.

в) Решим уравнение $y^2-6y+7=0$.
Это приведенное квадратное уравнение, для которого коэффициенты равны $a=1$, $b=-6$, $c=7$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2\sqrt{2}}{2} = 3 + \sqrt{2}$.
$y_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{2} = 3 - \sqrt{2}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета.
В нашем уравнении $p = -6$ и $q=7$.
Проверяем сумму корней: $y_1 + y_2 = (3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 6$. Это равно $-p = -(-6) = 6$. Равенство выполняется.
Проверяем произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = (3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$. Это равно $q=7$. Равенство выполняется.
Оба условия выполнены, следовательно, корни найдены верно.
Ответ: $y_1 = 3 + \sqrt{2}$, $y_2 = 3 - \sqrt{2}$.

г) Решим уравнение $p^2-10p+7=0$.
Это приведенное квадратное уравнение, для которого коэффициенты равны $a=1$, $b=-10$, $c=7$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 100 - 28 = 72$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$p_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{72}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 6\sqrt{2}}{2} = 5 + 3\sqrt{2}$.
$p_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{72}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 6\sqrt{2}}{2} = 5 - 3\sqrt{2}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета.
В нашем уравнении $p_{coeff} = -10$ и $q=7$ (используем $p_{coeff}$ чтобы не путать с переменной $p$).
Проверяем сумму корней: $p_1 + p_2 = (5 + 3\sqrt{2}) + (5 - 3\sqrt{2}) = 10$. Это равно $-p_{coeff} = -(-10) = 10$. Равенство выполняется.
Проверяем произведение корней: $p_1 \cdot p_2 = (5 + 3\sqrt{2})(5 - 3\sqrt{2}) = 5^2 - (3\sqrt{2})^2 = 25 - (9 \cdot 2) = 25 - 18 = 7$. Это равно $q=7$. Равенство выполняется.
Оба условия выполнены, следовательно, корни найдены верно.
Ответ: $p_1 = 5 + 3\sqrt{2}$, $p_2 = 5 - 3\sqrt{2}$.

672. Найдите b и решите уравнение:

а) $2x^2 + bx - 10 = 0$, если оно имеет корень 5;

б) $3x^2 + bx + 24 = 0$, если оно имеет корень 3;

в) $(b - 1)x^2 - (b + 1)x = 72$, если оно имеет корень 3;

г) $(b - 5)x^2 - (b - 2)x + b = 0$, если оно имеет корень $\frac{1}{2}$.

а) $2x^2 + bx - 10 = 0$, если оно имеет корень 5;

Поскольку $x=5$ является корнем уравнения, мы можем подставить это значение в уравнение, чтобы найти коэффициент $b$.

$2 \cdot (5)^2 + b \cdot 5 - 10 = 0$
$2 \cdot 25 + 5b - 10 = 0$
$50 + 5b - 10 = 0$
$40 + 5b = 0$
$5b = -40$
$b = -8$

Теперь, когда мы нашли $b$, подставим его значение обратно в исходное уравнение и решим его:
$2x^2 - 8x - 10 = 0$

Можно упростить уравнение, разделив все его члены на 2:
$x^2 - 4x - 5 = 0$

Мы знаем, что один корень $x_1 = 5$. Второй корень $x_2$ можно найти, используя теорему Виета. Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ произведение корней равно $q$. В нашем случае $q = -5$.
$x_1 \cdot x_2 = -5$
$5 \cdot x_2 = -5$
$x_2 = -1$

Ответ: $b = -8$; корни уравнения: $5$ и $-1$.

б) $3x^2 + bx + 24 = 0$, если оно имеет корень 3;

Подставим известный корень $x=3$ в уравнение для нахождения $b$:
$3 \cdot (3)^2 + b \cdot 3 + 24 = 0$
$3 \cdot 9 + 3b + 24 = 0$
$27 + 3b + 24 = 0$
$51 + 3b = 0$
$3b = -51$
$b = -17$

Подставим $b = -17$ в уравнение:
$3x^2 - 17x + 24 = 0$

Один корень $x_1 = 3$. Для нахождения второго корня $x_2$ используем теорему Виета. Для уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ произведение корней равно $c/a$.
$x_1 \cdot x_2 = \frac{24}{3} = 8$
$3 \cdot x_2 = 8$
$x_2 = \frac{8}{3}$

Ответ: $b = -17$; корни уравнения: $3$ и $\frac{8}{3}$.

в) $(b - 1)x^2 - (b + 1)x = 72$, если оно имеет корень 3;

Сначала приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$(b - 1)x^2 - (b + 1)x - 72 = 0$

Подставим известный корень $x=3$ в уравнение, чтобы найти $b$:
$(b - 1) \cdot (3)^2 - (b + 1) \cdot 3 - 72 = 0$
$9(b - 1) - 3(b + 1) - 72 = 0$
$9b - 9 - 3b - 3 - 72 = 0$
$6b - 84 = 0$
$6b = 84$
$b = 14$

Теперь подставим $b=14$ в уравнение:
$(14 - 1)x^2 - (14 + 1)x - 72 = 0$
$13x^2 - 15x - 72 = 0$

Один корень $x_1 = 3$. Используем теорему Виета для нахождения второго корня $x_2$:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-72}{13}$
$3 \cdot x_2 = -\frac{72}{13}$
$x_2 = -\frac{72}{13 \cdot 3} = -\frac{24}{13}$

Ответ: $b = 14$; корни уравнения: $3$ и $-\frac{24}{13}$.

г) $(b - 5)x^2 - (b - 2)x + b = 0$, если оно имеет корень $\frac{1}{2}$.

Подставим корень $x=\frac{1}{2}$ в уравнение для нахождения $b$:
$(b - 5) \cdot (\frac{1}{2})^2 - (b - 2) \cdot \frac{1}{2} + b = 0$
$(b - 5) \cdot \frac{1}{4} - \frac{b - 2}{2} + b = 0$

Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:
$4 \cdot (b - 5) \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{b - 2}{2} + 4 \cdot b = 0$
$(b - 5) - 2(b - 2) + 4b = 0$
$b - 5 - 2b + 4 + 4b = 0$
$3b - 1 = 0$
$3b = 1$
$b = \frac{1}{3}$

Подставим $b=\frac{1}{3}$ в исходное уравнение:
$(\frac{1}{3} - 5)x^2 - (\frac{1}{3} - 2)x + \frac{1}{3} = 0$
$(\frac{1}{3} - \frac{15}{3})x^2 - (\frac{1}{3} - \frac{6}{3})x + \frac{1}{3} = 0$
$-\frac{14}{3}x^2 - (-\frac{5}{3})x + \frac{1}{3} = 0$
$-\frac{14}{3}x^2 + \frac{5}{3}x + \frac{1}{3} = 0$

Умножим все уравнение на -3 для упрощения:
$14x^2 - 5x - 1 = 0$

Один корень $x_1 = \frac{1}{2}$. Используем теорему Виета для нахождения второго корня $x_2$:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-1}{14}$
$\frac{1}{2} \cdot x_2 = -\frac{1}{14}$
$x_2 = -\frac{1}{14} \cdot 2 = -\frac{2}{14} = -\frac{1}{7}$

Ответ: $b = \frac{1}{3}$; корни уравнения: $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{7}$.

673. Докажите, что уравнение $7x^2 + bx - 23 = 0$ при любых значениях $b$ имеет один положительный и один отрицательный корень.

Рассмотрим заданное квадратное уравнение $7x^2 + bx - 23 = 0$. Это уравнение является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 7$, $b$ — произвольное действительное число, $c = -23$.

Чтобы доказать, что уравнение имеет один положительный и один отрицательный корень при любом значении $b$, необходимо установить два факта:
1. Уравнение всегда имеет два различных действительных корня.
2. Эти корни имеют разные знаки.

Первый факт доказывается через анализ дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Если дискриминант больше нуля ($D > 0$), то уравнение имеет два различных действительных корня. Вычислим дискриминант для нашего уравнения: $D = b^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-23) = b^2 + 28 \cdot 23 = b^2 + 644$.

Поскольку квадрат любого действительного числа $b$ неотрицателен ($b^2 \ge 0$), то значение дискриминанта всегда будет положительным: $D = b^2 + 644 \ge 0 + 644 = 644$. Так как $D > 0$ при любом значении $b$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня. Обозначим их $x_1$ и $x_2$.

Второй факт доказывается с помощью теоремы Виета. Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равно $\frac{c}{a}$.

Применим теорему к нашему уравнению: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-23}{7}$.

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -\frac{23}{7}$ является отрицательным числом. Произведение двух чисел может быть отрицательным только в том случае, если эти числа имеют разные знаки. Следовательно, один из корней положителен, а другой отрицателен.

Таким образом, мы доказали, что при любом значении $b$ уравнение $7x^2 + bx - 23 = 0$ имеет два корня, один из которых положительный, а другой — отрицательный.

Ответ: Утверждение доказано. При любом значении $b$ дискриминант уравнения $D=b^2+644$ всегда положителен, поэтому уравнение имеет два действительных корня. По теореме Виета, произведение этих корней равно $x_1 \cdot x_2 = -23/7$, то есть оно отрицательно. Это означает, что корни имеют разные знаки: один положительный, другой отрицательный.