Страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

626. Сотрудники отдела решили совместно приобрести холодильник за 7200 р. Однако трое отказались участвовать в покупке, и остальным пришлось уплатить на 200 р. больше, чем предполагалось. Сколько сотрудников работает в отделе?

Пусть $x$ — общее количество сотрудников в отделе. Стоимость холодильника составляет 7200 рублей.

Изначально каждый сотрудник должен был заплатить сумму, равную $ \frac{7200}{x} $ рублей.

После того как трое сотрудников отказались участвовать в покупке, количество платящих сократилось до $x - 3$.

В этом случае каждый из оставшихся сотрудников должен был заплатить $ \frac{7200}{x-3} $ рублей.

Из условия задачи известно, что новая сумма на 200 рублей больше первоначальной. На основе этого составим и решим уравнение:

$ \frac{7200}{x-3} - \frac{7200}{x} = 200 $

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 200:

$ \frac{36}{x-3} - \frac{36}{x} = 1 $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-3)$:

$ \frac{36x - 36(x-3)}{x(x-3)} = 1 $

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$ \frac{36x - 36x + 108}{x^2 - 3x} = 1 $

$ \frac{108}{x^2 - 3x} = 1 $

Это уравнение равносильно следующему (при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 3$):

$ x^2 - 3x = 108 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 - 3x - 108 = 0 $

Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441 $

Найдем корни уравнения:

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 21}{2} $

Первый корень:

$ x_1 = \frac{3 + 21}{2} = \frac{24}{2} = 12 $

Второй корень:

$ x_2 = \frac{3 - 21}{2} = \frac{-18}{2} = -9 $

Поскольку количество сотрудников не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -9$ не является решением задачи. Таким образом, общее количество сотрудников в отделе равно 12.

Проведем проверку. Изначально 12 сотрудников должны были заплатить по $7200 \div 12 = 600$ рублей. После отказа троих, 9 сотрудников заплатили по $7200 \div 9 = 800$ рублей. Разница составляет $800 - 600 = 200$ рублей, что соответствует условию задачи.

Ответ: 12

627. Турист проплыл на лодке против течения реки 6 км и по озеру 15 км, затратив на путь по озеру на 1 ч больше, чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите скорость лодки при движении по озеру.

Обозначим за $x$ км/ч искомую скорость лодки при движении по озеру. Эта скорость является собственной скоростью лодки (скоростью в стоячей воде).

Согласно условию, скорость течения реки равна 2 км/ч. Когда лодка плывет против течения, ее скорость относительно берега уменьшается на величину скорости течения. Таким образом, скорость лодки против течения реки составляет $(x - 2)$ км/ч. Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, её собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Время движения ($t$) вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Турист проплыл против течения реки 6 км. Время, затраченное на этот путь, равно:
$t_{река} = \frac{6}{x-2}$ ч.

По озеру турист проплыл 15 км. Время, затраченное на путь по озеру, равно:
$t_{озеро} = \frac{15}{x}$ ч.

Из условия задачи известно, что на путь по озеру было затрачено на 1 час больше, чем на путь по реке. На основе этого составим уравнение:
$t_{озеро} = t_{река} + 1$
$\frac{15}{x} = \frac{6}{x-2} + 1$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на общий знаменатель $x(x-2)$, учитывая ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 2$):
$15(x-2) = 6x + 1 \cdot x(x-2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$15x - 30 = 6x + x^2 - 2x$
$15x - 30 = x^2 + 4x$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 4x - 15x + 30 = 0$
$x^2 - 11x + 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 11, а их произведение равно 30. Корнями являются числа 5 и 6.
Также можно найти корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$
$x_1 = \frac{-(-11) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Оба найденных корня, 5 и 6, удовлетворяют ранее установленному условию $x > 2$. Проверим каждое из решений, подставив его в исходные условия.

Проверка для $x = 5$ км/ч:
Время по реке: $t_{река} = \frac{6}{5-2} = \frac{6}{3} = 2$ часа.
Время по озеру: $t_{озеро} = \frac{15}{5} = 3$ часа.
Разница во времени: $3 - 2 = 1$ час. Это соответствует условию задачи.

Проверка для $x = 6$ км/ч:
Время по реке: $t_{река} = \frac{6}{6-2} = \frac{6}{4} = 1.5$ часа.
Время по озеру: $t_{озеро} = \frac{15}{6} = 2.5$ часа.
Разница во времени: $2.5 - 1.5 = 1$ час. Это также соответствует условию задачи.

Таким образом, задача имеет два правильных решения.

Ответ: скорость лодки при движении по озеру равна 5 км/ч или 6 км/ч.

628. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км, а против течения 25 км. По течению она шла столько же времени, сколько против течения. Какова скорость течения реки?

Пусть искомая скорость течения реки равна $x$ км/ч.

Когда моторная лодка движется по течению, ее скорость складывается со скоростью течения. Таким образом, скорость лодки по течению составляет $v_{по} = (15 + x)$ км/ч.

Когда моторная лодка движется против течения, ее скорость уменьшается на скорость течения. Таким образом, скорость лодки против течения составляет $v_{против} = (15 - x)$ км/ч.

Время движения ($t$) вычисляется по формуле $t = \frac{s}{v}$, где $s$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, затраченное лодкой на путь по течению (35 км), равно:
$t_{по} = \frac{35}{15 + x}$ ч.

Время, затраченное лодкой на путь против течения (25 км), равно:
$t_{против} = \frac{25}{15 - x}$ ч.

Согласно условию задачи, время движения по течению равно времени движения против течения ($t_{по} = t_{против}$). На основе этого можно составить уравнение:

$\frac{35}{15 + x} = \frac{25}{15 - x}$

Для решения этого уравнения воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$35 \cdot (15 - x) = 25 \cdot (15 + x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$35 \cdot 15 - 35x = 25 \cdot 15 + 25x$
$525 - 35x = 375 + 25x$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть уравнения, а числовые значения — в левую, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

$525 - 375 = 25x + 35x$
$150 = 60x$

Теперь найдем $x$, разделив обе части на 60:

$x = \frac{150}{60}$
$x = \frac{15}{6}$
$x = 2.5$

Следовательно, скорость течения реки составляет 2.5 км/ч.

Ответ: 2.5 км/ч.

629. Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошёл 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки.

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч. Собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) составляет 20 км/ч.
Тогда скорость катера по течению реки равна $(20 + x)$ км/ч, а скорость катера против течения реки — $(20 - x)$ км/ч.
По смыслу задачи, скорость должна быть положительной величиной, поэтому $x > 0$. Кроме того, чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $20 - x > 0$, откуда $x < 20$. Таким образом, допустимые значения для $x$ — это $0 < x < 20$.

Время, затраченное катером на путь в 36 км против течения, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$ и равно:
$t_{против} = \frac{36}{20 - x}$ ч.
Время, затраченное на путь в 22 км по течению, равно:
$t_{по} = \frac{22}{20 + x}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 3 часа. Составим уравнение, сложив время движения против течения и по течению:
$\frac{36}{20 - x} + \frac{22}{20 + x} = 3$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $(20 - x)(20 + x)$, который по формуле разности квадратов равен $400 - x^2$:
$\frac{36(20 + x) + 22(20 - x)}{(20 - x)(20 + x)} = 3$
$\frac{720 + 36x + 440 - 22x}{400 - x^2} = 3$
$\frac{1160 + 14x}{400 - x^2} = 3$
Теперь умножим обе части на знаменатель $400 - x^2$:
$1160 + 14x = 3(400 - x^2)$
$1160 + 14x = 1200 - 3x^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$3x^2 + 14x + 1160 - 1200 = 0$
$3x^2 + 14x - 40 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 196 + 480 = 676$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 26}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - 26}{2 \cdot 3} = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3}$

Корень $x_2 = -\frac{20}{3}$ является посторонним, так как скорость течения реки не может быть отрицательной.
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $0 < x < 20$. Следовательно, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Проверим найденное решение:
1. Время движения против течения: $\frac{36}{20 - 2} = \frac{36}{18} = 2$ часа.
2. Время движения по течению: $\frac{22}{20 + 2} = \frac{22}{22} = 1$ час.
3. Общее время: $2 + 1 = 3$ часа.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 2 км/ч.

630. В водный раствор соли добавили 100 г воды. В результате концентрация соли в растворе понизилась на 1%. Определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нём содержалось 30 г соли.

Обозначим первоначальную массу раствора как $m_1$. Масса соли в растворе, по условию, составляет $m_{\text{соли}} = 30$ г.

Первоначальная концентрация соли в растворе ($C_1$) — это отношение массы соли к массе всего раствора. Концентрацию будем выражать в долях.

$C_1 = \frac{m_{\text{соли}}}{m_1} = \frac{30}{m_1}$

После добавления 100 г воды масса раствора увеличилась. Новая масса раствора ($m_2$) стала равна:

$m_2 = m_1 + 100$

Масса соли при этом не изменилась. Новая концентрация соли ($C_2$) в растворе:

$C_2 = \frac{m_{\text{соли}}}{m_2} = \frac{30}{m_1 + 100}$

По условию задачи, концентрация понизилась на 1%. В долях это составляет 0.01. Следовательно, разница между первоначальной и конечной концентрациями равна 0.01:

$C_1 - C_2 = 0.01$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в это уравнение, чтобы найти неизвестную массу $m_1$:

$\frac{30}{m_1} - \frac{30}{m_1 + 100} = 0.01$

Для решения этого уравнения, приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$30 \left( \frac{1}{m_1} - \frac{1}{m_1 + 100} \right) = 0.01$

$30 \left( \frac{(m_1 + 100) - m_1}{m_1(m_1 + 100)} \right) = 0.01$

Упростим выражение в числителе:

$30 \left( \frac{100}{m_1(m_1 + 100)} \right) = 0.01$

$\frac{3000}{m_1^2 + 100m_1} = 0.01$

Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на $m_1^2 + 100m_1$:

$3000 = 0.01(m_1^2 + 100m_1)$

Разделим обе части на 0.01 (что эквивалентно умножению на 100):

$300000 = m_1^2 + 100m_1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$m_1^2 + 100m_1 - 300000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = 100^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300000) = 10000 + 1200000 = 1210000$

Найдем корни уравнения по формуле $m_1 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$m_{1,1} = \frac{-100 + \sqrt{1210000}}{2} = \frac{-100 + 1100}{2} = \frac{1000}{2} = 500$

$m_{1,2} = \frac{-100 - \sqrt{1210000}}{2} = \frac{-100 - 1100}{2} = \frac{-1200}{2} = -600$

Так как масса раствора не может быть отрицательной величиной, единственное подходящее решение — это $m_1 = 500$.

Таким образом, первоначальная масса раствора составляла 500 г.

Ответ: 500 г.

631. Сплав золота и серебра содержал 40 г золота. После того как к нему добавили 50 г золота, получили новый сплав, в котором содержание золота возросло на 20%. Сколько серебра было в сплаве?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — масса серебра в первоначальном сплаве в граммах. Эта величина остается постоянной на протяжении всего процесса.

1. Характеристики первоначального сплава:
Масса золота: $m_{золота1} = 40$ г.
Масса серебра: $m_{серебра} = x$ г.
Общая масса сплава: $m_{сплава1} = m_{золота1} + m_{серебра} = 40 + x$ г.
Содержание (концентрация) золота в первоначальном сплаве, выраженное в долях: $C_1 = \frac{m_{золота1}}{m_{сплава1}} = \frac{40}{40 + x}$

2. Характеристики нового сплава:
К сплаву добавили 50 г золота.
Масса золота в новом сплаве: $m_{золота2} = 40 + 50 = 90$ г.
Масса серебра не изменилась: $m_{серебра} = x$ г.
Общая масса нового сплава: $m_{сплава2} = m_{золота2} + m_{серебра} = 90 + x$ г.
Содержание золота в новом сплаве: $C_2 = \frac{m_{золота2}}{m_{сплава2}} = \frac{90}{90 + x}$

3. Составление и решение уравнения:
По условию, содержание золота возросло на 20%. Это означает, что разница между новой и старой концентрациями составляет 20 процентных пунктов, или 0,2 в долях единицы.
$C_2 - C_1 = 0.2$
Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в уравнение: $\frac{90}{90 + x} - \frac{40}{40 + x} = 0.2$
Преобразуем 0,2 в обыкновенную дробь: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
$\frac{90}{90 + x} - \frac{40}{40 + x} = \frac{1}{5}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(90 + x)(40 + x)$: $\frac{90(40 + x) - 40(90 + x)}{(90 + x)(40 + x)} = \frac{1}{5}$
Раскроем скобки в числителе: $\frac{3600 + 90x - 3600 - 40x}{(90 + x)(40 + x)} = \frac{1}{5}$
Упростим числитель: $\frac{50x}{(90 + x)(40 + x)} = \frac{1}{5}$
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $5 \cdot (50x) = 1 \cdot (90 + x)(40 + x)$
$250x = 3600 + 90x + 40x + x^2$
$250x = x^2 + 130x + 3600$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 + 130x - 250x + 3600 = 0$
$x^2 - 120x + 3600 = 0$
Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом разности $(x-60)^2$: $(x - 60)^2 = 0$
Следовательно, $x - 60 = 0$, откуда $x = 60$.

Таким образом, в сплаве было 60 г серебра.

Проверим:
Начальная концентрация золота: $\frac{40}{40+60} = \frac{40}{100} = 40\%$.
Конечная концентрация золота: $\frac{40+50}{40+60+50} = \frac{90}{150} = \frac{3}{5} = 60\%$.
Разница концентраций: $60\% - 40\% = 20\%$. Решение верное.

Ответ: 60 г.

632. При совместной работе двух кранов разгрузку баржи закончили за 6 ч. Сколько времени потребовалось бы каждому крану отдельно для разгрузки баржи, если известно, что первому крану для этого требуется на 5 ч больше, чем второму?

Примем весь объем работы по разгрузке баржи за $1$.
Пусть время, необходимое второму крану для выполнения всей работы в одиночку, равно $x$ часов.
Согласно условию, первому крану для этого требуется на 5 часов больше, то есть $(x+5)$ часов.

Производительность (или скорость работы) — это часть работы, выполняемая за единицу времени.
Производительность первого крана: $P_1 = \frac{1}{x+5}$ (часть работы в час).
Производительность второго крана: $P_2 = \frac{1}{x}$ (часть работы в час).

При совместной работе их производительности складываются. Общая производительность равна: $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x+5} + \frac{1}{x}$.
Известно, что вместе они разгружают баржу за 6 часов. Это означает, что их общая производительность равна $\frac{1}{6}$ части работы в час.

Составим и решим уравнение:
$\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:
$\frac{x + (x+5)}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$
$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$6(2x+5) = 1(x^2+5x)$
$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$
$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку $x$ обозначает время, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -3$ не соответствует условию задачи.
Таким образом, время работы второго крана составляет $x = 10$ часов.
Время работы первого крана равно $x+5 = 10+5 = 15$ часов.

Ответ: первому крану потребовалось бы 15 часов, а второму – 10 часов.

633. Два автомата разной мощности изготовили за 2 ч 55 мин некоторое количество деталей. За какое время это количество деталей мог бы изготовить первый автомат, если известно, что ему для этого потребуется на 2 ч больше, чем второму автомату?

Примем весь объем работы по изготовлению деталей за 1. Пусть $t_1$ — время в часах, за которое всю работу выполняет первый автомат, а $t_2$ — время, за которое всю работу выполняет второй автомат. Тогда производительность первого автомата составляет $p_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть работы в час), а производительность второго — $p_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть работы в час).

Согласно условию задачи, первому автомату требуется на 2 часа больше, чем второму. Это дает нам первое уравнение: $t_1 = t_2 + 2$, из которого следует, что $t_2 = t_1 - 2$.

Два автомата вместе выполнили работу за 2 часа 55 минут. Переведем это время в часы для удобства расчетов: $T_{совм} = 2 \text{ ч } 55 \text{ мин} = 2 + \frac{55}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{11}{12} \text{ ч} = \frac{24+11}{12} = \frac{35}{12}$ часа.

При совместной работе производительности складываются: $p_{совм} = p_1 + p_2$. Объем работы равен произведению совместной производительности на время совместной работы: $1 = (p_1 + p_2) \cdot T_{совм}$. Подставив выражения для производительностей и времени, получим второе уравнение: $1 = (\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot \frac{35}{12}$. Отсюда: $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{12}{35}$.

Теперь подставим выражение $t_2 = t_1 - 2$ в это уравнение: $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 - 2} = \frac{12}{35}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{(t_1 - 2) + t_1}{t_1(t_1 - 2)} = \frac{12}{35}$ $\frac{2t_1 - 2}{t_1^2 - 2t_1} = \frac{12}{35}$.

Используя свойство пропорции (умножая крест-накрест), получаем: $35(2t_1 - 2) = 12(t_1^2 - 2t_1)$ $70t_1 - 70 = 12t_1^2 - 24t_1$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $12t_1^2 - 24t_1 - 70t_1 + 70 = 0$ $12t_1^2 - 94t_1 + 70 = 0$.

Для упрощения разделим все коэффициенты уравнения на 2: $6t_1^2 - 47t_1 + 35 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-47)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 35 = 2209 - 840 = 1369$. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1369} = 37$.

Теперь находим возможные значения для $t_1$: $t_{1,1} = \frac{-(-47) + 37}{2 \cdot 6} = \frac{47 + 37}{12} = \frac{84}{12} = 7$. $t_{1,2} = \frac{-(-47) - 37}{2 \cdot 6} = \frac{47 - 37}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

Проверим найденные корни. Из условия $t_2 = t_1 - 2$ следует, что время работы второго автомата $t_2$ должно быть положительным, то есть $t_1 - 2 > 0$, откуда $t_1 > 2$. Корень $t_{1,2} = \frac{5}{6}$ не удовлетворяет этому условию, так как $\frac{5}{6} < 2$. Следовательно, это посторонний корень. Корень $t_{1,1} = 7$ удовлетворяет условию $7 > 2$. Если $t_1 = 7$ часов, то $t_2 = 7 - 2 = 5$ часов, что является физически осмысленным значением. Таким образом, искомое время для первого автомата — 7 часов.

Ответ: первый автомат мог бы изготовить это количество деталей за 7 часов.

634. Велосипедист проехал из посёлка до станции с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью, на 5 км/ч большей. Какова была первоначальная скорость велосипедиста, если известно, что средняя скорость на всём пути следования составляла 12 км/ч?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v$ (км/ч) — первоначальная постоянная скорость велосипедиста на пути из посёлка до станции.
• $(v + 5)$ (км/ч) — скорость велосипедиста на обратном пути.
• $S$ (км) — расстояние от посёлка до станции.
• $v_{ср}$ (км/ч) — средняя скорость на всём пути, которая по условию равна 12 км/ч.

Средняя скорость вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё время движения.

Весь путь, который проехал велосипедист, складывается из пути до станции и обратно:$S_{общ} = S + S = 2S$.

Время, затраченное на путь до станции: $t_1 = \frac{S}{v}$.

Время, затраченное на обратный путь: $t_2 = \frac{S}{v + 5}$.

Общее время в пути: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{v} + \frac{S}{v + 5}$.

Теперь подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{2S}{\frac{S}{v} + \frac{S}{v + 5}}$

Мы можем вынести $S$ в знаменателе за скобки и сократить, так как расстояние $S$ не равно нулю:

$12 = \frac{2S}{S \cdot (\frac{1}{v} + \frac{1}{v + 5})} = \frac{2}{\frac{1}{v} + \frac{1}{v + 5}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $v(v+5)$:

$\frac{1}{v} + \frac{1}{v + 5} = \frac{v + 5 + v}{v(v + 5)} = \frac{2v + 5}{v(v + 5)}$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$12 = \frac{2}{\frac{2v + 5}{v(v + 5)}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь:

$12 = 2 \cdot \frac{v(v + 5)}{2v + 5} = \frac{2v(v + 5)}{2v + 5}$

Теперь решим полученное уравнение. Умножим обе части на $(2v + 5)$, чтобы избавиться от знаменателя (при условии, что $2v + 5 \ne 0$):

$12(2v + 5) = 2v(v + 5)$

Раскроем скобки:

$24v + 60 = 2v^2 + 10v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2v^2 + 10v - 24v - 60 = 0$

$2v^2 - 14v - 60 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$v^2 - 7v - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v = -3$ не имеет физического смысла. Следовательно, первоначальная скорость велосипедиста была 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

635. Мотоциклист половину пути проехал с некоторой постоянной скоростью, а затем снизил скорость на 20 км/ч. Какова была скорость мотоциклиста на первой половине пути, если известно, что средняя скорость на всём пути составила 37,5 км/ч?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – весь путь, пройденный мотоциклистом.
• $v_1$ – скорость мотоциклиста на первой половине пути (в км/ч). Это искомая величина.
• $v_2$ – скорость мотоциклиста на второй половине пути (в км/ч).
• $v_{ср}$ – средняя скорость на всем пути, равная 37,5 км/ч.

Первая и вторая половины пути равны $S/2$.

По условию, на второй половине пути мотоциклист снизил скорость на 20 км/ч, следовательно:$v_2 = v_1 - 20$

Средняя скорость вычисляется по формуле:$v_{ср} = \frac{\text{весь путь}}{\text{всё время}} = \frac{S}{t_1 + t_2}$где $t_1$ – время, затраченное на первую половину пути, а $t_2$ – на вторую.

Время для каждого участка пути можно выразить через расстояние и скорость:$t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$$t_2 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$

Подставим эти выражения в формулу средней скорости:$v_{ср} = \frac{S}{\frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2}}$

Можно сократить $S$ в числителе и знаменателе:$v_{ср} = \frac{1}{\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2}} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю:$v_{ср} = \frac{2}{\frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Теперь подставим известные значения и выражения для $v_2$ и $v_{ср}$:$37.5 = \frac{2v_1(v_1 - 20)}{v_1 + (v_1 - 20)}$

Упростим полученное уравнение:$37.5 = \frac{2v_1^2 - 40v_1}{2v_1 - 20}$$37.5(2v_1 - 20) = 2v_1^2 - 40v_1$$75v_1 - 750 = 2v_1^2 - 40v_1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$2v_1^2 - 40v_1 - 75v_1 + 750 = 0$$2v_1^2 - 115v_1 + 750 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-115)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 750 = 13225 - 6000 = 7225$

Найдем корни уравнения:$v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{115 \pm \sqrt{7225}}{2 \cdot 2} = \frac{115 \pm 85}{4}$

Получаем два возможных значения для $v_1$:$v_{1,1} = \frac{115 + 85}{4} = \frac{200}{4} = 50$$v_{1,2} = \frac{115 - 85}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$

Проверим оба решения.

1. Если $v_1 = 50$ км/ч, то скорость на втором участке $v_2 = 50 - 20 = 30$ км/ч. Это физически возможное значение.
Проверим среднюю скорость: $v_{ср} = \frac{2 \cdot 50 \cdot 30}{50 + 30} = \frac{3000}{80} = 37.5$ км/ч. Это соответствует условию задачи.

2. Если $v_1 = 7.5$ км/ч, то скорость на втором участке $v_2 = 7.5 - 20 = -12.5$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому это решение не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, единственное верное решение – это 50 км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста на первой половине пути составляла 50 км/ч.