Номер 634, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 634, страница 147.

634. Велосипедист проехал из посёлка до станции с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью, на 5 км/ч большей. Какова была первоначальная скорость велосипедиста, если известно, что средняя скорость на всём пути следования составляла 12 км/ч?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v$ (км/ч) — первоначальная постоянная скорость велосипедиста на пути из посёлка до станции.
• $(v + 5)$ (км/ч) — скорость велосипедиста на обратном пути.
• $S$ (км) — расстояние от посёлка до станции.
• $v_{ср}$ (км/ч) — средняя скорость на всём пути, которая по условию равна 12 км/ч.

Средняя скорость вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё время движения.

Весь путь, который проехал велосипедист, складывается из пути до станции и обратно:$S_{общ} = S + S = 2S$.

Время, затраченное на путь до станции: $t_1 = \frac{S}{v}$.

Время, затраченное на обратный путь: $t_2 = \frac{S}{v + 5}$.

Общее время в пути: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{v} + \frac{S}{v + 5}$.

Теперь подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{2S}{\frac{S}{v} + \frac{S}{v + 5}}$

Мы можем вынести $S$ в знаменателе за скобки и сократить, так как расстояние $S$ не равно нулю:

$12 = \frac{2S}{S \cdot (\frac{1}{v} + \frac{1}{v + 5})} = \frac{2}{\frac{1}{v} + \frac{1}{v + 5}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $v(v+5)$:

$\frac{1}{v} + \frac{1}{v + 5} = \frac{v + 5 + v}{v(v + 5)} = \frac{2v + 5}{v(v + 5)}$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$12 = \frac{2}{\frac{2v + 5}{v(v + 5)}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь:

$12 = 2 \cdot \frac{v(v + 5)}{2v + 5} = \frac{2v(v + 5)}{2v + 5}$

Теперь решим полученное уравнение. Умножим обе части на $(2v + 5)$, чтобы избавиться от знаменателя (при условии, что $2v + 5 \ne 0$):

$12(2v + 5) = 2v(v + 5)$

Раскроем скобки:

$24v + 60 = 2v^2 + 10v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2v^2 + 10v - 24v - 60 = 0$

$2v^2 - 14v - 60 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$v^2 - 7v - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v = -3$ не имеет физического смысла. Следовательно, первоначальная скорость велосипедиста была 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.