Номер 630, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 630, страница 147.

630. В водный раствор соли добавили 100 г воды. В результате концентрация соли в растворе понизилась на 1%. Определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нём содержалось 30 г соли.

Обозначим первоначальную массу раствора как $m_1$. Масса соли в растворе, по условию, составляет $m_{\text{соли}} = 30$ г.

Первоначальная концентрация соли в растворе ($C_1$) — это отношение массы соли к массе всего раствора. Концентрацию будем выражать в долях.

$C_1 = \frac{m_{\text{соли}}}{m_1} = \frac{30}{m_1}$

После добавления 100 г воды масса раствора увеличилась. Новая масса раствора ($m_2$) стала равна:

$m_2 = m_1 + 100$

Масса соли при этом не изменилась. Новая концентрация соли ($C_2$) в растворе:

$C_2 = \frac{m_{\text{соли}}}{m_2} = \frac{30}{m_1 + 100}$

По условию задачи, концентрация понизилась на 1%. В долях это составляет 0.01. Следовательно, разница между первоначальной и конечной концентрациями равна 0.01:

$C_1 - C_2 = 0.01$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в это уравнение, чтобы найти неизвестную массу $m_1$:

$\frac{30}{m_1} - \frac{30}{m_1 + 100} = 0.01$

Для решения этого уравнения, приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$30 \left( \frac{1}{m_1} - \frac{1}{m_1 + 100} \right) = 0.01$

$30 \left( \frac{(m_1 + 100) - m_1}{m_1(m_1 + 100)} \right) = 0.01$

Упростим выражение в числителе:

$30 \left( \frac{100}{m_1(m_1 + 100)} \right) = 0.01$

$\frac{3000}{m_1^2 + 100m_1} = 0.01$

Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на $m_1^2 + 100m_1$:

$3000 = 0.01(m_1^2 + 100m_1)$

Разделим обе части на 0.01 (что эквивалентно умножению на 100):

$300000 = m_1^2 + 100m_1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$m_1^2 + 100m_1 - 300000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = 100^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300000) = 10000 + 1200000 = 1210000$

Найдем корни уравнения по формуле $m_1 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$m_{1,1} = \frac{-100 + \sqrt{1210000}}{2} = \frac{-100 + 1100}{2} = \frac{1000}{2} = 500$

$m_{1,2} = \frac{-100 - \sqrt{1210000}}{2} = \frac{-100 - 1100}{2} = \frac{-1200}{2} = -600$

Так как масса раствора не может быть отрицательной величиной, единственное подходящее решение — это $m_1 = 500$.

Таким образом, первоначальная масса раствора составляла 500 г.

Ответ: 500 г.