Номер 637, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 637, страница 148.

637. Найдите значение выражения:

а) $\frac{xy}{x+y}$ при $x=5+2\sqrt{6}$, $y=5-2\sqrt{6}$;

б) $\frac{x^2+y^2}{xy}$ при $x=\sqrt{11}+\sqrt{3}$, $y=\sqrt{11}-\sqrt{3}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{xy}{x+y}$ при $x = 5+2\sqrt{6}$ и $y = 5-2\sqrt{6}$, сначала вычислим отдельно числитель и знаменатель.

1. Найдем сумму $x+y$ (знаменатель):
$x+y = (5+2\sqrt{6}) + (5-2\sqrt{6}) = 5+5+2\sqrt{6}-2\sqrt{6} = 10$.

2. Найдем произведение $xy$ (числитель). Заметим, что $x$ и $y$ являются сопряженными выражениями, поэтому их произведение можно вычислить по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$:
$xy = (5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1$.

3. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{x^2+y^2}{xy}$ при $x=\sqrt{11}+\sqrt{3}$ и $y=\sqrt{11}-\sqrt{3}$, сначала преобразуем числитель и вычислим вспомогательные значения.

1. Упростим выражение. Можно заметить, что числитель $x^2+y^2$ можно выразить через сумму и произведение $x$ и $y$: $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.
Выражение примет вид: $\frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy} = \frac{(x+y)^2}{xy} - 2$.

2. Найдем сумму $x+y$:
$x+y = (\sqrt{11}+\sqrt{3}) + (\sqrt{11}-\sqrt{3}) = \sqrt{11}+\sqrt{11}+\sqrt{3}-\sqrt{3} = 2\sqrt{11}$.

3. Найдем произведение $xy$, используя формулу разности квадратов:
$xy = (\sqrt{11}+\sqrt{3})(\sqrt{11}-\sqrt{3}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2 = 11-3=8$.

4. Теперь подставим значения $x+y$ и $xy$ в преобразованное выражение:
$\frac{(x+y)^2}{xy} - 2 = \frac{(2\sqrt{11})^2}{8} - 2 = \frac{4 \cdot 11}{8} - 2 = \frac{44}{8} - 2 = \frac{11}{2} - 2 = 5.5 - 2 = 3.5$.

Альтернативный способ:
Сначала найти $x^2+y^2$ и $xy$, а затем их частное.
$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (2\sqrt{11})^2 - 2 \cdot 8 = 44 - 16 = 28$.
$xy = 8$.
$\frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3.5$.

Ответ: $3.5$