Номер 636, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 636, страница 148.

636. Докажите, что:

а) $ \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} + \frac{1}{11 - 2\sqrt{30}} = 22; $

б) $ \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2} + \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2} = 18. $

а)

Чтобы доказать равенство, преобразуем его левую часть. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель представляет собой произведение знаменателей исходных дробей: $(11 + 2\sqrt{30})(11 - 2\sqrt{30})$.

Для вычисления знаменателя воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$(11 + 2\sqrt{30})(11 - 2\sqrt{30}) = 11^2 - (2\sqrt{30})^2 = 121 - 4 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$.

Теперь выполним сложение дробей, подставив вычисленный общий знаменатель:
$\frac{1}{11+2\sqrt{30}} + \frac{1}{11-2\sqrt{30}} = \frac{1 \cdot (11-2\sqrt{30}) + 1 \cdot (11+2\sqrt{30})}{(11+2\sqrt{30})(11-2\sqrt{30})} = \frac{11-2\sqrt{30} + 11+2\sqrt{30}}{1} = \frac{22}{1} = 22$.

В результате преобразований левая часть равенства стала равна 22, что соответствует правой части. Таким образом, равенство доказано.
Ответ: Доказано.

б)

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, приведя дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$.

Вычислим знаменатель, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение. Числитель первой дроби умножим на $(\sqrt{5}+2)$, а второй — на $(\sqrt{5}-2)$:
$\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2} + \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2} = \frac{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}+2) + (\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{(\sqrt{5}+2)^2 + (\sqrt{5}-2)^2}{1}$.

Раскроем квадраты в числителе по формулам квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{5}+2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$.
$(\sqrt{5}-2)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$.

Подставим полученные выражения обратно в числитель и вычислим его значение:
$\frac{(9+4\sqrt{5}) + (9-4\sqrt{5})}{1} = \frac{9+4\sqrt{5} + 9-4\sqrt{5}}{1} = \frac{18}{1} = 18$.

В результате преобразований левая часть равенства стала равна 18, что соответствует правой части. Таким образом, равенство доказано.
Ответ: Доказано.