Номер 629, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 629, страница 147.

629. Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошёл 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки.

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч. Собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) составляет 20 км/ч.
Тогда скорость катера по течению реки равна $(20 + x)$ км/ч, а скорость катера против течения реки — $(20 - x)$ км/ч.
По смыслу задачи, скорость должна быть положительной величиной, поэтому $x > 0$. Кроме того, чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $20 - x > 0$, откуда $x < 20$. Таким образом, допустимые значения для $x$ — это $0 < x < 20$.

Время, затраченное катером на путь в 36 км против течения, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$ и равно:
$t_{против} = \frac{36}{20 - x}$ ч.
Время, затраченное на путь в 22 км по течению, равно:
$t_{по} = \frac{22}{20 + x}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 3 часа. Составим уравнение, сложив время движения против течения и по течению:
$\frac{36}{20 - x} + \frac{22}{20 + x} = 3$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $(20 - x)(20 + x)$, который по формуле разности квадратов равен $400 - x^2$:
$\frac{36(20 + x) + 22(20 - x)}{(20 - x)(20 + x)} = 3$
$\frac{720 + 36x + 440 - 22x}{400 - x^2} = 3$
$\frac{1160 + 14x}{400 - x^2} = 3$
Теперь умножим обе части на знаменатель $400 - x^2$:
$1160 + 14x = 3(400 - x^2)$
$1160 + 14x = 1200 - 3x^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$3x^2 + 14x + 1160 - 1200 = 0$
$3x^2 + 14x - 40 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 196 + 480 = 676$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 26}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - 26}{2 \cdot 3} = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3}$

Корень $x_2 = -\frac{20}{3}$ является посторонним, так как скорость течения реки не может быть отрицательной.
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $0 < x < 20$. Следовательно, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Проверим найденное решение:
1. Время движения против течения: $\frac{36}{20 - 2} = \frac{36}{18} = 2$ часа.
2. Время движения по течению: $\frac{22}{20 + 2} = \frac{22}{22} = 1$ час.
3. Общее время: $2 + 1 = 3$ часа.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 2 км/ч.