Номер 624, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 624, страница 146.

624. Предприниматель приобрёл акции одинаковой стоимости на 110 000 р. Если бы он отложил покупку на год, то сумел бы приобрести на эту сумму на 20 акций меньше, так как цена одной акции данного вида возросла за этот год на 50 р. Сколько акций приобрёл предприниматель?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $n$ — это количество акций, которое приобрёл предприниматель, а $p$ — это первоначальная стоимость одной акции в рублях.

Предприниматель потратил на покупку 110 000 рублей. Это можно выразить первым уравнением:

$n \cdot p = 110000$

Из условия известно, что если бы он отложил покупку на год, то цена одной акции выросла бы на 50 рублей (стала бы $p + 50$), и на ту же сумму он смог бы купить на 20 акций меньше (то есть $n - 20$). Составим второе уравнение:

$(n - 20) \cdot (p + 50) = 110000$

Мы получили систему из двух уравнений. Выразим $p$ из первого уравнения:

$p = \frac{110000}{n}$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$(n - 20) \cdot (\frac{110000}{n} + 50) = 110000$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$n \cdot \frac{110000}{n} + n \cdot 50 - 20 \cdot \frac{110000}{n} - 20 \cdot 50 = 110000$

Упростим полученное выражение:

$110000 + 50n - \frac{2200000}{n} - 1000 = 110000$

Вычтем 110 000 из обеих частей уравнения и приведём подобные слагаемые:

$50n - \frac{2200000}{n} - 1000 = 0$

Умножим все члены уравнения на $n$, чтобы избавиться от дроби (мы знаем, что $n \ne 0$, так как акции были куплены):

$50n^2 - 1000n - 2200000 = 0$

Разделим всё уравнение на 50 для упрощения:

$n^2 - 20n - 44000 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44000) = 400 + 176000 = 176400$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n = \frac{20 \pm \sqrt{176400}}{2 \cdot 1} = \frac{20 \pm 420}{2}$

Получаем два возможных корня:

$n_1 = \frac{20 + 420}{2} = \frac{440}{2} = 220$

$n_2 = \frac{20 - 420}{2} = \frac{-400}{2} = -200$

Поскольку количество акций ($n$) не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -200$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, количество приобретённых акций равно 220.

Ответ: предприниматель приобрёл 220 акций.