Номер 617, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 617, страница 146.

617. Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменателю – 5, то она увеличится на $ \frac{1}{2} $. Найдите эту дробь.

Пусть числитель исходной обыкновенной дроби равен $x$. Согласно условию, знаменатель больше числителя на 3, следовательно, знаменатель равен $x+3$. Таким образом, исходная дробь имеет вид $\frac{x}{x+3}$.

Далее, к числителю этой дроби прибавляют 7, а из знаменателя вычитают 5. Новый числитель становится равен $x+7$, а новый знаменатель — $(x+3) - 5 = x-2$. Новая дробь имеет вид $\frac{x+7}{x-2}$.

По условию, новая дробь больше исходной на $\frac{1}{2}$. Составим уравнение:

$\frac{x+7}{x-2} = \frac{x}{x+3} + \frac{1}{2}$

Для решения уравнения перенесём член с переменной в левую часть:

$\frac{x+7}{x-2} - \frac{x}{x+3} = \frac{1}{2}$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $(x-2)(x+3)$:

$\frac{(x+7)(x+3) - x(x-2)}{(x-2)(x+3)} = \frac{1}{2}$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе левой части:

$\frac{(x^2 + 3x + 7x + 21) - (x^2 - 2x)}{x^2 + 3x - 2x - 6} = \frac{1}{2}$

$\frac{x^2 + 10x + 21 - x^2 + 2x}{x^2 + x - 6} = \frac{1}{2}$

$\frac{12x + 21}{x^2 + x - 6} = \frac{1}{2}$

Используя свойство пропорции, получим:

$2(12x + 21) = 1(x^2 + x - 6)$

$24x + 42 = x^2 + x - 6$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x - 24x - 6 - 42 = 0$

$x^2 - 23x - 48 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 529 + 192 = 721$

Поскольку дискриминант $D = 721$ не является полным квадратом, корни уравнения будут иррациональными:

$x = \frac{23 \pm \sqrt{721}}{2}$

Термин "обыкновенная дробь" в таких задачах подразумевает отношение двух целых чисел. Так как числитель $x$ является иррациональным числом, то дробь, удовлетворяющая условиям задачи, не является обыкновенной дробью в общепринятом смысле (с целыми числителем и знаменателем). Вероятно, в условии задачи содержится опечатка. Если решать задачу строго по приведённому условию, то решения в целых числах не существует.

Ответ: Обыкновенной дроби, удовлетворяющей данным условиям, не существует.