Номер 616, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 616, страница 144.

616. Сравните с нулём значение выражения:

а) $\frac{3ab}{a^2+b^2}$, где $a > 0, b < 0;$

б) $\frac{5a^3b^2}{a+b}$, где $a < 0, b < 0.$

а) Чтобы сравнить значение выражения $\frac{3ab}{a^2 + b^2}$ с нулём при условиях $a > 0$ и $b < 0$, определим знаки числителя и знаменателя.
1. Знак числителя ($3ab$):
По условию, $a$ - положительное число ($a > 0$), а $b$ - отрицательное число ($b < 0$). Произведение положительного числа на отрицательное даёт отрицательное число, то есть $ab < 0$. Так как множитель $3$ положителен, то и весь числитель $3ab$ будет отрицательным: $3ab < 0$.
2. Знак знаменателя ($a^2 + b^2$):
Поскольку $a > 0$ и $b < 0$, оба числа не равны нулю. Квадрат любого ненулевого числа всегда положителен. Следовательно, $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$. Сумма двух положительных чисел также является положительным числом: $a^2 + b^2 > 0$.
3. Знак всего выражения:
Мы делим отрицательный числитель на положительный знаменатель. Частное от деления отрицательного числа на положительное всегда отрицательно.
Следовательно, $\frac{3ab}{a^2 + b^2} < 0$.
Ответ: значение выражения меньше нуля.

б) Чтобы сравнить значение выражения $\frac{5a^3b^2}{a + b}$ с нулём при условиях $a < 0$ и $b < 0$, определим знаки числителя и знаменателя.
1. Знак числителя ($5a^3b^2$):
По условию, $a$ и $b$ - отрицательные числа.
$a^3$ - это куб отрицательного числа, результат будет отрицательным: $a^3 < 0$.
$b^2$ - это квадрат ненулевого отрицательного числа, результат будет положительным: $b^2 > 0$.
Числитель является произведением положительного числа $5$, отрицательного числа $a^3$ и положительного числа $b^2$. Результат такого произведения будет отрицательным: $5a^3b^2 < 0$.
2. Знак знаменателя ($a + b$):
Знаменатель является суммой двух отрицательных чисел $a$ и $b$. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна: $a + b < 0$.
3. Знак всего выражения:
Мы делим отрицательный числитель на отрицательный знаменатель. Частное от деления отрицательного числа на отрицательное всегда положительно.
Следовательно, $\frac{5a^3b^2}{a + b} > 0$.
Ответ: значение выражения больше нуля.