Номер 613, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 613, страница 144.

613. Найдите значение выражения $x^2 - 2xy + y^2$ при $x=3+\sqrt{5}$, $y=3-\sqrt{5}$.

Для нахождения значения данного выражения $x^2 - 2xy + y^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Применив эту формулу к нашему выражению, получим:

$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$

Теперь задача сводится к тому, чтобы подставить значения $x$ и $y$ в упрощенное выражение $(x-y)^2$.

Даны значения $x = 3 + \sqrt{5}$ и $y = 3 - \sqrt{5}$.

1. Вычислим разность $x - y$:

$x - y = (3 + \sqrt{5}) - (3 - \sqrt{5})$

Раскрываем скобки, меняя знак у членов второго выражения на противоположный:

$x - y = 3 + \sqrt{5} - 3 + \sqrt{5}$

Приводим подобные слагаемые:

$x - y = (3 - 3) + (\sqrt{5} + \sqrt{5}) = 0 + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

2. Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$(x - y)^2 = (2\sqrt{5})^2$

Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

Ответ: 20.