Номер 610, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 610, страница 143.

610. (Для работы в парах.) Решите уравнение:

а) $1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}}} = 1 \frac{7}{24};$

б) $1 - \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}} = \frac{3}{5}.$

1) Обсудите, какие преобразования и в какой последовательности надо выполнить, чтобы найти корни уравнения.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли решено уравнение.

а) $1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}}} = 1\frac{7}{24}$
Для решения этого уравнения будем последовательно упрощать его, двигаясь "снаружи внутрь".
1. Преобразуем смешанное число в правой части в неправильную дробь: $1\frac{7}{24} = \frac{1 \cdot 24 + 7}{24} = \frac{31}{24}$.
2. Перенесем 1 из левой части уравнения в правую:
$\frac{1}{3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}}} = \frac{31}{24} - 1 = \frac{31 - 24}{24} = \frac{7}{24}$
3. Если две дроби вида $\frac{1}{A}$ и $\frac{B}{C}$ равны, то равны и их обратные величины: $A = \frac{C}{B}$. Применим это свойство ("перевернем" обе дроби):
$3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}} = \frac{24}{7}$
4. Вычтем 3 из обеих частей уравнения:
$\frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}} = \frac{24}{7} - 3 = \frac{24 - 3 \cdot 7}{7} = \frac{24 - 21}{7} = \frac{3}{7}$
5. Снова применим свойство обратных величин:
$2 + \frac{1}{5 - x^2} = \frac{7}{3}$
6. Вычтем 2 из обеих частей:
$\frac{1}{5 - x^2} = \frac{7}{3} - 2 = \frac{7 - 2 \cdot 3}{3} = \frac{7 - 6}{3} = \frac{1}{3}$
7. Из равенства дробей с числителями, равными 1, следует, что их знаменатели также равны:
$5 - x^2 = 3$
8. Найдем $x^2$:
$x^2 = 5 - 3$
$x^2 = 2$
9. Найдем корни уравнения:
$x = \pm\sqrt{2}$
Проверка области допустимых значений (ОДЗ): все знаменатели в исходной дроби не должны равняться нулю. При $x^2 = 2$ ни один из знаменателей не обращается в ноль, следовательно, корни подходят.
Ответ: $x = \pm\sqrt{2}$.

б) $1 - \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}} = \frac{3}{5}$
Решаем аналогично предыдущему пункту.
1. Выразим многоэтажную дробь из уравнения. Для этого перенесем ее в правую часть, а $\frac{3}{5}$ в левую:
$1 - \frac{3}{5} = \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}}$
$\frac{2}{5} = \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}}$
2. Так как дроби равны, то равны и их обратные величины:
$\frac{5}{2} = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}$
3. Вычтем 2 из обеих частей:
$\frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}$
$\frac{5 - 4}{2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}$
4. Из равенства дробей с одинаковыми числителями следует равенство их знаменателей:
$2 = 1 + \frac{1}{10 - x^2}$
5. Вычтем 1 из обеих частей:
$1 = \frac{1}{10 - x^2}$
6. Это равенство выполняется, если знаменатель дроби равен 1:
$10 - x^2 = 1$
7. Найдем $x^2$:
$x^2 = 10 - 1$
$x^2 = 9$
8. Найдем корни уравнения:
$x = \pm\sqrt{9} = \pm 3$
Проверка области допустимых значений (ОДЗ): все знаменатели в исходной дроби не должны равняться нулю. При $x^2 = 9$ ни один из знаменателей не обращается в ноль, следовательно, корни подходят.
Ответ: $x = \pm 3$.