Номер 603, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 603, страница 142.

603. Решите уравнение:

a) $\frac{3x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1;$

б) $\frac{2y-2}{y+3} + \frac{y+3}{y-3} = 5;$

в) $\frac{4}{9y^2-1} - \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{1-3y};$

г) $\frac{4}{x+3} - \frac{5}{3-x} = \frac{1}{x-3} - 1;$

д) $\frac{3}{x} + \frac{4}{x-1} = \frac{5-x}{x^2-x};$

е) $\frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y^2-2y}.$

а) $\frac{3x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:
$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$
$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$
Приведем дроби к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2-4$ и умножим обе части уравнения на него:
$(3x+1)(x-2) - (x-1)(x+2) = 1 \cdot (x+2)(x-2)$
Раскроем скобки:
$(3x^2 - 6x + x - 2) - (x^2 + 2x - x - 2) = x^2 - 4$
$(3x^2 - 5x - 2) - (x^2 + x - 2) = x^2 - 4$
$3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2 = x^2 - 4$
$2x^2 - 6x = x^2 - 4$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 - x^2 - 6x + 4 = 0$
$x^2 - 6x + 4 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$
$\sqrt{D} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$
Оба корня $x_1 = 3 + \sqrt{5}$ и $x_2 = 3 - \sqrt{5}$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5}$.

б) $\frac{2y-2}{y+3} + \frac{y+3}{y-3} = 5$

ОДЗ: $y+3 \neq 0 \implies y \neq -3$ и $y-3 \neq 0 \implies y \neq 3$.
Общий знаменатель: $(y+3)(y-3) = y^2-9$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:
$(2y-2)(y-3) + (y+3)(y+3) = 5(y+3)(y-3)$
Раскроем скобки:
$(2y^2 - 6y - 2y + 6) + (y^2 + 6y + 9) = 5(y^2 - 9)$
$2y^2 - 8y + 6 + y^2 + 6y + 9 = 5y^2 - 45$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3y^2 - 2y + 15 = 5y^2 - 45$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 5y^2 - 3y^2 + 2y - 45 - 15$
$2y^2 + 2y - 60 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$y^2 + y - 30 = 0$
По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = -1$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = -30$.
Подбором находим корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = -6$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \neq \pm 3$).
Ответ: -6; 5.

в) $\frac{4}{9y^2-1} - \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{1-3y}$

Разложим знаменатели на множители: $9y^2-1 = (3y-1)(3y+1)$ и $1-3y = -(3y-1)$.
ОДЗ: $3y+1 \neq 0 \implies y \neq -1/3$ и $3y-1 \neq 0 \implies y \neq 1/3$.
Перепишем уравнение:
$\frac{4}{(3y-1)(3y+1)} - \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{-(3y-1)}$
$\frac{4}{(3y-1)(3y+1)} - \frac{4}{3y+1} = -\frac{5}{3y-1}$
Общий знаменатель: $(3y-1)(3y+1)$. Умножим обе части на него:
$4 - 4(3y-1) = -5(3y+1)$
Раскроем скобки и решим линейное уравнение:
$4 - 12y + 4 = -15y - 5$
$8 - 12y = -15y - 5$
$15y - 12y = -5 - 8$
$3y = -13$
$y = -13/3$
Корень $y = -13/3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-13/3$.

г) $\frac{4}{x+3} - \frac{5}{3-x} = \frac{1}{x-3} - 1$

ОДЗ: $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$ и $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Заметим, что $3-x = -(x-3)$. Перепишем уравнение:
$\frac{4}{x+3} - \frac{5}{-(x-3)} = \frac{1}{x-3} - 1$
$\frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} = \frac{1}{x-3} - 1$
Перенесем дроби в левую часть, а -1 оставим в правой:
$\frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} - \frac{1}{x-3} = -1$
$\frac{4}{x+3} + \frac{4}{x-3} = -1$
Приведем к общему знаменателю $(x+3)(x-3) = x^2-9$:
$\frac{4(x-3) + 4(x+3)}{(x+3)(x-3)} = -1$
$4x - 12 + 4x + 12 = -(x^2-9)$
$8x = -x^2 + 9$
$x^2 + 8x - 9 = 0$
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -8$, $x_1 \cdot x_2 = -9$.
Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -9$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 3$).
Ответ: -9; 1.

д) $\frac{3}{x} + \frac{4}{x-1} = \frac{5-x}{x^2-x}$

Разложим знаменатель в правой части: $x^2-x = x(x-1)$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
Общий знаменатель: $x(x-1)$. Умножим обе части на него:
$3(x-1) + 4x = 5-x$
$3x - 3 + 4x = 5-x$
$7x - 3 = 5 - x$
$7x + x = 5 + 3$
$8x = 8$
$x = 1$
Полученный корень $x=1$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 1$), следовательно, он является посторонним.
Ответ: корней нет.

е) $\frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y^2-2y}$

Разложим знаменатель в правой части: $y^2-2y = y(y-2)$.
ОДЗ: $y \neq 0$ и $y-2 \neq 0 \implies y \neq 2$.
Общий знаменатель: $y(y-2)$. Умножим обе части на него:
$(3y-2)(y-2) - 1 \cdot y = 3y+4$
$3y^2 - 6y - 2y + 4 - y = 3y+4$
$3y^2 - 9y + 4 = 3y+4$
Перенесем все члены в левую часть:
$3y^2 - 9y - 3y + 4 - 4 = 0$
$3y^2 - 12y = 0$
Вынесем общий множитель $3y$ за скобки:
$3y(y-4) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$3y = 0 \implies y_1 = 0$
$y-4 = 0 \implies y_2 = 4$
Проверим корни по ОДЗ ($y \neq 0, y \neq 2$).
Корень $y_1=0$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.
Корень $y_2=4$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 4.