Номер 4, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 4, страница 139.

4 Сформулируйте и докажите теорему Виета. Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$?

Сформулируйте и докажите теорему Виета.

Формулировка (прямая теорема Виета): Если $x_1$ и $x_2$ — корни приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, то их сумма равна второму коэффициенту $p$, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену $q$.
Математически это записывается так:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

Доказательство:
Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.
Согласно теореме о разложении квадратного трехчлена на множители, мы можем записать:
$x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$
Раскроем скобки в правой части равенства:
$(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2 = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$
Таким образом, мы имеем тождество:
$x^2 + px + q = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$
Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$. Сравнивая коэффициенты, получаем систему равенств:
$\begin{cases} p = -(x_1 + x_2) \\ q = x_1 \cdot x_2 \end{cases}$
Из этой системы следует:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases}$
Теорема доказана.

Ответ: Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ утверждает, что если $x_1$ и $x_2$ являются его корнями, то их сумма равна $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$?

Рассмотрим полное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где старший коэффициент $a \neq 0$.
Предположим, что оно имеет корни $x_1$ и $x_2$ (то есть его дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$).
Поскольку $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:
$\frac{ax^2}{a} + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a} = \frac{0}{a}$
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
Мы получили приведенное квадратное уравнение, аналогичное уравнению $x^2 + px + q = 0$, где в роли коэффициента $p$ выступает дробь $\frac{b}{a}$, а в роли свободного члена $q$ — дробь $\frac{c}{a}$.
Теперь мы можем применить к этому уравнению доказанную выше теорему Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -(\frac{b}{a}) = -\frac{b}{a}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = \frac{c}{a}$.
Эти формулы представляют собой обобщенную теорему Виета для полного квадратного уравнения.

Ответ: Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.