Номер 5, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 5, страница 139.

5 Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Виета.

Формулировка теоремы, обратной теореме Виета

Если существуют такие числа $x_1$ и $x_2$, что их сумма $x_1 + x_2$ равна $-p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ равно $q$, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Доказательство

По условию теоремы, нам даны числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются следующие равенства:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$.

Из данных нам условий мы можем выразить коэффициенты $p$ и $q$ через $x_1$ и $x_2$:

$p = -(x_1 + x_2)$

$q = x_1 \cdot x_2$

Подставим эти выражения для $p$ и $q$ в исходное уравнение:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$

Чтобы доказать, что $x_1$ и $x_2$ являются корнями этого уравнения, необходимо показать, что при подстановке каждого из этих чисел вместо $x$ уравнение обращается в верное числовое равенство.

1. Подставим в левую часть уравнения $x = x_1$:

$x_1^2 - (x_1 + x_2)x_1 + x_1x_2 = x_1^2 - x_1^2 - x_2x_1 + x_1x_2 = 0$

Так как левая часть равна нулю, то $x_1$ является корнем уравнения.

2. Подставим в левую часть уравнения $x = x_2$:

$x_2^2 - (x_1 + x_2)x_2 + x_1x_2 = x_2^2 - x_1x_2 - x_2^2 + x_1x_2 = 0$

Так как левая часть также равна нулю, то $x_2$ также является корнем уравнения.

Таким образом, числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема, обратная теореме Виета, утверждает, что если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.