Номер 599, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 599, страница 138.

599. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что одна из них на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 34 см.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см. Тогда, согласно условию, большая сторона будет равна $(x + 14)$ см.

Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник. Стороны $x$ и $(x + 14)$ являются катетами этого треугольника, а диагональ, равная 34 см, — его гипотенузой.

Применим теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Составим уравнение на основе этой теоремы:

$x^2 + (x + 14)^2 = 34^2$

Раскроем скобки и выполним вычисления:

$x^2 + (x^2 + 2 \cdot x \cdot 14 + 14^2) = 1156$

$x^2 + x^2 + 28x + 196 = 1156$

Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 28x + 196 - 1156 = 0$

$2x^2 + 28x - 960 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 + 14x - 480 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 196 + 1920 = 2116$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46$

$x_1 = \frac{-14 + 46}{2 \cdot 1} = \frac{32}{2} = 16$

$x_2 = \frac{-14 - 46}{2 \cdot 1} = \frac{-60}{2} = -30$

Так как длина стороны не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -30$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, длина меньшей стороны прямоугольника равна 16 см.

Найдем длину большей стороны:

$x + 14 = 16 + 14 = 30$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 16 см и 30 см.

Ответ: 16 см и 30 см.