Номер 593, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 593, страница 138.

593. (Для работы в парах.) Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни, и если имеет, то определите их знаки:

а) $x^2 + 7x - 1 = 0$;

б) $x^2 - 7x + 1 = 0$;

в) $5x^2 + 17x + 16 = 0$;

г) $19x^2 - 23x + 5 = 0$;

д) $2x^2 + 5\sqrt{3}x + 11 = 0$;

е) $11x^2 - 9x + 7 - 5\sqrt{2} = 0$.

1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте ошибки, если они допущены.

1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней.

Для определения наличия и знаков корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, не решая его, используют комбинацию анализа дискриминанта и теоремы Виета.

Шаг 1: Проверка существования корней.

Вычисляется дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

— Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

— Если $D \ge 0$, уравнение имеет действительные корни (один или два), и можно переходить к следующему шагу.

Шаг 2: Определение знаков корней (если $D \ge 0$).

Анализируются знаки произведения корней ($x_1 \cdot x_2 = c/a$) и их суммы ($x_1 + x_2 = -b/a$) согласно теореме Виета.

— Если произведение корней $c/a < 0$, то корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).

— Если произведение корней $c/a > 0$, то корни имеют одинаковые знаки. В этом случае для уточнения знака дополнительно анализируется их сумма: если сумма корней $-b/a > 0$, то оба корня положительны; если сумма корней $-b/a < 0$, то оба корня отрицательны.

— Если произведение корней $c/a = 0$ (что означает $c=0$), то один из корней равен нулю.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.

Ниже представлено решение для всех заданий.

а) $x^2 + 7x - 1 = 0$

1. Проверим наличие корней, вычислив дискриминант. Для этого уравнения коэффициенты: $a=1$, $b=7$, $c=-1$.

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 49 + 4 = 53$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определим знаки корней с помощью теоремы Виета.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -1/1 = -1$.

Так как произведение корней является отрицательным числом, корни имеют разные знаки.

Ответ: уравнение имеет два корня с разными знаками (один положительный, другой отрицательный).

б) $x^2 - 7x + 1 = 0$

1. Найдем дискриминант. Коэффициенты: $a=1$, $b=-7$, $c=1$.

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 49 - 4 = 45$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определим знаки корней.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 1/1 = 1$. Произведение положительно, следовательно, корни одного знака.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-7)/1 = 7$. Сумма положительна, следовательно, оба корня являются положительными.

Ответ: уравнение имеет два положительных корня.

в) $5x^2 + 17x + 16 = 0$

1. Найдем дискриминант. Коэффициенты: $a=5$, $b=17$, $c=16$.

$D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 5 \cdot 16 = 289 - 320 = -31$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: уравнение не имеет действительных корней.

г) $19x^2 - 23x + 5 = 0$

1. Найдем дискриминант. Коэффициенты: $a=19$, $b=-23$, $c=5$.

$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 19 \cdot 5 = 529 - 380 = 149$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определим знаки корней.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 5/19$. Произведение положительно, значит, корни одного знака.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-23)/19 = 23/19$. Сумма положительна, значит, оба корня положительны.

Ответ: уравнение имеет два положительных корня.

д) $2x^2 + 5\sqrt{3}x + 11 = 0$

1. Найдем дискриминант. Коэффициенты: $a=2$, $b=5\sqrt{3}$, $c=11$.

$D = b^2 - 4ac = (5\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 25 \cdot 3 - 88 = 75 - 88 = -13$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: уравнение не имеет действительных корней.

е) $11x^2 - 9x + 7 - 5\sqrt{2} = 0$

1. Проверим наличие корней. Коэффициенты: $a=11$, $b=-9$, $c = 7 - 5\sqrt{2}$.

Сначала оценим знак коэффициента $c$. Так как $7 = \sqrt{49}$ и $5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$, то $c = \sqrt{49} - \sqrt{50} < 0$.

Так как $a > 0$ и $c < 0$, то их произведение $ac < 0$, а значит, слагаемое $-4ac$ в формуле дискриминанта будет положительным. $b^2$ также всегда неотрицательно. Сумма неотрицательного и положительного числа всегда положительна, следовательно, $D = b^2 - 4ac > 0$. Уравнение имеет два действительных корня.

2. Определим знаки корней.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = (7 - 5\sqrt{2})/11$.

Поскольку мы установили, что числитель $7 - 5\sqrt{2}$ отрицателен, а знаменатель $11$ положителен, то все произведение $c/a$ отрицательно.

Так как произведение корней отрицательно, они имеют разные знаки.

Ответ: уравнение имеет два корня с разными знаками (один положительный, другой отрицательный).