Номер 595, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 595, страница 138.

595. (Для работы в парах.) Уравнение $x^2 + 5x + m = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$. Найдите, при каком значении $m$:

a) сумма квадратов корней равна 35;

б) сумма кубов корней равна 40.

1) Обсудите подходы к выполнению задания а) и задания б).

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность полученных ответов. Исправьте замеченные ошибки.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + 5x + m = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.

Согласно теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -5$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = m$

Уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 25 - 4m \ge 0$. Отсюда получаем условие: $4m \le 25$, то есть $m \le 6.25$. Мы будем проверять каждое найденное значение $m$ на соответствие этому условию.

а) сумма квадратов корней равна 35

По условию, $x_1^2 + x_2^2 = 35$. Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда следует, что $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим в это выражение значения из теоремы Виета: $x_1^2 + x_2^2 = (-5)^2 - 2m = 25 - 2m$.

Теперь приравняем полученное выражение к заданному значению 35 и найдем $m$: $25 - 2m = 35$ $-2m = 35 - 25$ $-2m = 10$ $m = -5$

Проверим выполнение условия для действительных корней: $m \le 6.25$. Поскольку $-5 \le 6.25$, условие выполняется. При $m = -5$ уравнение имеет действительные корни.

Ответ: $m = -5$.

б) сумма кубов корней равна 40

По условию, $x_1^3 + x_2^3 = 40$. Выразим сумму кубов корней через их сумму и произведение. Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)$. Можно преобразовать это выражение: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2)$.

Подставим значения из теоремы Виета: $x_1^3 + x_2^3 = (-5)((-5)^2 - 3m) = -5(25 - 3m)$.

Приравняем полученное выражение к 40 и решим уравнение относительно $m$: $-5(25 - 3m) = 40$ $25 - 3m = \frac{40}{-5}$ $25 - 3m = -8$ $3m = 25 + 8$ $3m = 33$ $m = 11$

Проверим выполнение условия для действительных корней: $m \le 6.25$. Значение $m = 11$ не удовлетворяет этому условию, так как $11 > 6.25$. При $m=11$ дискриминант $D = 25 - 4(11) = 25 - 44 = -19 < 0$. Это означает, что уравнение не имеет действительных корней. Однако, если рассматривать комплексные корни, теорема Виета и все основанные на ней соотношения остаются верными. Сумма кубов комплексно-сопряженных корней будет действительным числом. Таким образом, $m = 11$ является решением задачи, если не накладывать ограничение на то, что корни должны быть действительными.

Ответ: $m = 11$.