Номер 589, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 589, страница 137.

589. Разность корней квадратного уравнения $x^2 - 12x + q = 0$ равна 2. Найдите $q$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $x^2 - 12x + q = 0$.

Согласно условию задачи, разность корней равна 2. Запишем это в виде уравнения, предположив, что $x_1$ — больший корень:
$x_1 - x_2 = 2$

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + k = 0$ справедливы следующие соотношения для его корней $x_1$ и $x_2$: сумма корней $x_1 + x_2 = -p$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = k$.

В нашем уравнении $x^2 - 12x + q = 0$ коэффициент при $x$ равен -12, а свободный член равен $q$. Применяя теорему Виета, получаем:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-12) = 12$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений для нахождения корней $x_1$ и $x_2$:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 12 \\x_1 - x_2 = 2\end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x_1$:
$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 12 + 2$
$2x_1 = 14$
$x_1 = \frac{14}{2} = 7$

Теперь подставим найденное значение $x_1 = 7$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x_2$:
$7 + x_2 = 12$
$x_2 = 12 - 7 = 5$

Таким образом, корни уравнения равны 7 и 5. Проверим их разность: $7 - 5 = 2$, что соответствует условию.

Теперь, зная корни, мы можем найти неизвестный параметр $q$, используя второе соотношение из теоремы Виета:
$q = x_1 \cdot x_2$
$q = 7 \cdot 5 = 35$

Ответ: $q = 35$.