Номер 582, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 582, страница 137.

582. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

a) $x^2 - 15x - 16 = 0$;

б) $x^2 - 6x - 11 = 0$;

в) $12x^2 - 4x - 1 = 0$;

г) $x^2 - 6 = 0$;

д) $5x^2 - 18x = 0$;

е) $2x^2 - 41 = 0$.

а) Дано уравнение $x^2 - 15x - 16 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Найдем его корни с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a = 1, b = -15, c = -16$.
$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289$.
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Корни уравнения: $x_1 = 16$ и $x_2 = -1$.
Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем уравнении $p = -15$ и $q = -16$.
Проверим сумму: $x_1 + x_2 = 16 + (-1) = 15$. Так как $-p = -(-15) = 15$, условие выполняется.
Проверим произведение: $x_1 \cdot x_2 = 16 \cdot (-1) = -16$. Так как $q = -16$, условие выполняется.
Поскольку оба условия теоремы, обратной теореме Виета, выполняются, найденные корни верны.
Ответ: $16; -1$.

б) Дано уравнение $x^2 - 6x - 11 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Найдем его корни с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a = 1, b = -6, c = -11$.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 36 + 44 = 80$.
$\sqrt{D} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{5}$.
Корни уравнения: $x_1 = 3 + 2\sqrt{5}$ и $x_2 = 3 - 2\sqrt{5}$.
Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
В уравнении $x^2 - 6x - 11 = 0$ коэффициенты $p = -6$ и $q = -11$.
Проверим сумму: $x_1 + x_2 = (3 + 2\sqrt{5}) + (3 - 2\sqrt{5}) = 6$. Так как $-p = -(-6) = 6$, условие выполняется.
Проверим произведение: $x_1 \cdot x_2 = (3 + 2\sqrt{5})(3 - 2\sqrt{5}) = 3^2 - (2\sqrt{5})^2 = 9 - 4 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$. Так как $q = -11$, условие выполняется.
Поскольку оба условия выполняются, найденные корни верны.
Ответ: $3 \pm 2\sqrt{5}$.

в) Дано уравнение $12x^2 - 4x - 1 = 0$. Это полное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a = 12, b = -4, c = -1$.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16 + 48 = 64$.
$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 8}{2 \cdot 12} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 8}{2 \cdot 12} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = -\frac{1}{6}$.
Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
Для общего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
Проверим сумму: $x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{6}) = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. В уравнении $-\frac{b}{a} = -\frac{-4}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Условие выполняется.
Проверим произведение: $x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{6}) = -\frac{1}{12}$. В уравнении $\frac{c}{a} = \frac{-1}{12} = -\frac{1}{12}$. Условие выполняется.
Поскольку оба условия выполняются, найденные корни верны.
Ответ: $\frac{1}{2}; -\frac{1}{6}$.

г) Дано уравнение $x^2 - 6 = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Его можно записать как $x^2 + 0x - 6 = 0$.
$x^2 = 6 \implies x = \pm\sqrt{6}$.
Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$.
Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
В уравнении $p=0$, $q=-6$.
Проверим сумму: $x_1 + x_2 = \sqrt{6} + (-\sqrt{6}) = 0$. Так как $-p = -0 = 0$, условие выполняется.
Проверим произведение: $x_1 \cdot x_2 = \sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6}) = -6$. Так как $q = -6$, условие выполняется.
Найденные корни верны.
Ответ: $\pm\sqrt{6}$.

д) Дано уравнение $5x^2 - 18x = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Вынесем $x$ за скобки.
$x(5x - 18) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $5x - 18 = 0 \implies 5x = 18 \implies x_2 = \frac{18}{5} = 3.6$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{18}{5}$.
Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
Запишем уравнение в виде $5x^2 - 18x + 0 = 0$. Коэффициенты: $a=5, b=-18, c=0$.
Проверим сумму: $x_1 + x_2 = 0 + \frac{18}{5} = \frac{18}{5}$. В уравнении $-\frac{b}{a} = -\frac{-18}{5} = \frac{18}{5}$. Условие выполняется.
Проверим произведение: $x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot \frac{18}{5} = 0$. В уравнении $\frac{c}{a} = \frac{0}{5} = 0$. Условие выполняется.
Найденные корни верны.
Ответ: $0; \frac{18}{5}$.

е) Дано уравнение $2x^2 - 41 = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Его можно записать как $2x^2 + 0x - 41 = 0$.
$2x^2 = 41 \implies x^2 = \frac{41}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{41}{2}}$.
Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{\frac{41}{2}}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{41}{2}}$.
Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
В уравнении $a=2, b=0, c=-41$.
Проверим сумму: $x_1 + x_2 = \sqrt{\frac{41}{2}} + (-\sqrt{\frac{41}{2}}) = 0$. В уравнении $-\frac{b}{a} = -\frac{0}{2} = 0$. Условие выполняется.
Проверим произведение: $x_1 \cdot x_2 = \sqrt{\frac{41}{2}} \cdot (-\sqrt{\frac{41}{2}}) = -\frac{41}{2}$. В уравнении $\frac{c}{a} = \frac{-41}{2} = -\frac{41}{2}$. Условие выполняется.
Найденные корни верны.
Ответ: $\pm\sqrt{\frac{41}{2}}$.