Номер 575, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 575, страница 133.

575. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 869.

Пусть искомые три последовательных целых числа равны $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — целое число. Такая запись удобна, так как она упрощает алгебраические преобразования.

Согласно условию задачи, сумма квадратов этих чисел равна 869. Составим и решим уравнение:

$(n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = 869$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и квадрат суммы):

$(n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 869$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Обратите внимание, что члены $-2n$ и $+2n$ взаимно уничтожаются:

$3n^2 + 2 = 869$

Перенесем 2 в правую часть уравнения:

$3n^2 = 869 - 2$

$3n^2 = 867$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $n^2$:

$n^2 = \frac{867}{3}$

$n^2 = 289$

Теперь найдем $n$, извлекая квадратный корень из 289. У этого уравнения есть два корня:

$n = \pm \sqrt{289}$

$n_1 = 17$ и $n_2 = -17$

Поскольку мы получили два значения для $n$, существует два набора чисел, удовлетворяющих условию задачи.

1. Случай, когда $n = 17$:

Первое число: $n - 1 = 17 - 1 = 16$

Второе число: $n = 17$

Третье число: $n + 1 = 17 + 1 = 18$

Таким образом, первая тройка чисел: 16, 17, 18.

Проверим: $16^2 + 17^2 + 18^2 = 256 + 289 + 324 = 545 + 324 = 869$. Верно.

2. Случай, когда $n = -17$:

Первое число: $n - 1 = -17 - 1 = -18$

Второе число: $n = -17$

Третье число: $n + 1 = -17 + 1 = -16$

Таким образом, вторая тройка чисел: -18, -17, -16.

Проверим: $(-18)^2 + (-17)^2 + (-16)^2 = 324 + 289 + 256 = 869$. Верно.

Ответ: 16, 17, 18 или -18, -17, -16.