Номер 580, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 580, страница 137.

580. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

а) $x^2 - 37x + 27 = 0$;

б) $y^2 + 41y - 371 = 0$;

в) $x^2 - 210x = 0$;

г) $y^2 - 19 = 0$;

д) $2x^2 - 9x - 10 = 0$;

е) $5x^2 + 12x + 7 = 0$;

ж) $-z^2 + z = 0$;

з) $3x^2 - 10 = 0$.

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \ne 0$) используется теорема Виета. Теорема утверждает, что если уравнение имеет корни $x_1$ и $x_2$, то их сумма и произведение могут быть найдены по формулам:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Воспользуемся этими формулами для решения каждого из предложенных уравнений. Перед применением формул необходимо убедиться, что корни существуют (дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$). Для всех представленных уравнений это условие выполняется.

а) $x^2 - 37x + 27 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=1$, $b=-37$, $c=27$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{-37}{1} = 37$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{27}{1} = 27$.

Ответ: сумма корней равна 37, произведение корней равно 27.

б) $y^2 + 41y - 371 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=1$, $b=41$, $c=-371$.

Сумма корней: $y_1 + y_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{41}{1} = -41$.

Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = \frac{c}{a} = \frac{-371}{1} = -371$.

Ответ: сумма корней равна -41, произведение корней равно -371.

в) $x^2 - 210x = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=1$, $b=-210$, $c=0$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{-210}{1} = 210$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{0}{1} = 0$.

Ответ: сумма корней равна 210, произведение корней равно 0.

г) $y^2 - 19 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=1$, $b=0$, $c=-19$.

Сумма корней: $y_1 + y_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{0}{1} = 0$.

Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = \frac{c}{a} = \frac{-19}{1} = -19$.

Ответ: сумма корней равна 0, произведение корней равно -19.

д) $2x^2 - 9x - 10 = 0$

Это полное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=2$, $b=-9$, $c=-10$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{-9}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-10}{2} = -5$.

Ответ: сумма корней равна 4.5, произведение корней равно -5.

е) $5x^2 + 12x + 7 = 0$

Здесь коэффициенты: $a=5$, $b=12$, $c=7$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{12}{5} = -2.4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{7}{5} = 1.4$.

Ответ: сумма корней равна -2.4, произведение корней равно 1.4.

ж) $-z^2 + z = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=-1$, $b=1$, $c=0$.

Сумма корней: $z_1 + z_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{1}{-1} = 1$.

Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = \frac{c}{a} = \frac{0}{-1} = 0$.

Ответ: сумма корней равна 1, произведение корней равно 0.

з) $3x^2 - 10 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=3$, $b=0$, $c=-10$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{0}{3} = 0$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-10}{3} = -3\frac{1}{3}$.

Ответ: сумма корней равна 0, произведение корней равно $-\frac{10}{3}$.