Номер 583, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 583, страница 137.

583. Найдите подбором корни уравнения:

а) $x^2 - 9x + 20 = 0;$

б) $x^2 + 11x - 12 = 0;$

в) $x^2 + x - 56 = 0;$

г) $x^2 - 19x + 88 = 0.$

а) Рассмотрим уравнение $x^2 - 9x + 20 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение, для которого можно применить теорему Виета. Согласно теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения: сумма корней $x_1 + x_2 = -(-9) = 9$; произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 20$.
Теперь подберем два числа, произведение которых равно 20, а сумма равна 9. Возможные пары целых множителей для числа 20: (1, 20), (2, 10), (4, 5). Проверим их сумму: $1+20=21$, $2+10=12$, $4+5=9$. Пара чисел 4 и 5 удовлетворяет обоим условиям.
Ответ: 4; 5.

б) Рассмотрим уравнение $x^2 + 11x - 12 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -11$; произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -12$.
Подберем два числа, произведение которых равно -12, а сумма -11. Так как произведение отрицательное, корни имеют разные знаки. Возможные пары целых множителей для числа -12: (1, -12), (-1, 12), (2, -6), (-2, 6), (3, -4), (-3, 4). Проверим их сумму: $1+(-12)=-11$. Эта пара нам подходит. Проверим остальные для полноты: $-1+12=11$, $2+(-6)=-4$, $-2+6=4$, $3+(-4)=-1$, $-3+4=1$. Корни уравнения - это 1 и -12.
Ответ: -12; 1.

в) Рассмотрим уравнение $x^2 + x - 56 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -1$; произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -56$.
Подберем два числа, произведение которых равно -56, а сумма -1. Корни имеют разные знаки. Возможные пары целых множителей для числа -56: (1, -56), (-1, 56), (2, -28), (-2, 28), (4, -14), (-4, 14), (7, -8), (-7, 8). Проверим их сумму: $7+(-8)=-1$. Эта пара подходит. Таким образом, корни уравнения - это 7 и -8.
Ответ: -8; 7.

г) Рассмотрим уравнение $x^2 - 19x + 88 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -(-19) = 19$; произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 88$.
Подберем два числа, произведение которых равно 88, а сумма равна 19. Так как и произведение, и сумма положительны, оба корня положительны. Возможные пары целых множителей для числа 88: (1, 88), (2, 44), (4, 22), (8, 11). Проверим их сумму: $1+88=89$, $2+44=46$, $4+22=26$, $8+11=19$. Пара чисел 8 и 11 удовлетворяет обоим условиям.
Ответ: 8; 11.