Номер 585, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 585, страница 137.

585. В уравнении $x^2 + px - 35 = 0$ один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент $p$.

Дано квадратное уравнение $x^2 + px - 35 = 0$. Известно, что один из его корней, обозначим его $x_1$, равен 7. Необходимо найти второй корень $x_2$ и коэффициент $p$.

Для решения этой задачи удобнее всего воспользоваться теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ справедливы следующие соотношения для корней $x_1$ и $x_2$:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем уравнении $x^2 + px - 35 = 0$ коэффициенты равны $b = p$ и $c = -35$.

Нахождение другого корня

Воспользуемся формулой для произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = c$.

Подставим известные значения $x_1 = 7$ и $c = -35$:

$7 \cdot x_2 = -35$

Отсюда выразим и найдем второй корень $x_2$:

$x_2 = \frac{-35}{7}$

$x_2 = -5$

Нахождение коэффициента p

Теперь воспользуемся формулой для суммы корней: $x_1 + x_2 = -b$.

Подставим найденные корни $x_1 = 7$, $x_2 = -5$ и учтем, что $b=p$:

$7 + (-5) = -p$

$2 = -p$

Отсюда находим коэффициент $p$:

$p = -2$

Для проверки можно подставить найденное значение $p = -2$ в исходное уравнение и получить $x^2 - 2x - 35 = 0$. Корнями этого уравнения действительно являются числа 7 и -5, так как их сумма равна $7+(-5)=2$ (что равно $-p$), а их произведение равно $7 \cdot (-5) = -35$ (что равно $c$).

Ответ: другой корень равен -5, коэффициент $p = -2$.