Номер 584, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 584, страница 137.

584. Найдите подбором корни уравнения:

а) $x^2 + 16x + 63 = 0;$

б) $x^2 + 2x - 48 = 0.$

а) $x^2 + 16x + 63 = 0$

Для нахождения корней подбором воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

В данном уравнении коэффициенты $p = 16$ и $q = 63$. Следовательно, нам нужно найти два числа, для которых выполняются условия:

$x_1 + x_2 = -16$

$x_1 \cdot x_2 = 63$

Так как произведение корней ($63$) — положительное число, а их сумма ($-16$) — отрицательное, то оба корня должны быть отрицательными. Начнем подбор, рассматривая пары целых отрицательных множителей числа $63$:

1. Пара $(-1, -63)$. Проверим сумму: $-1 + (-63) = -64$. Не подходит.

2. Пара $(-3, -21)$. Проверим сумму: $-3 + (-21) = -24$. Не подходит.

3. Пара $(-7, -9)$. Проверим сумму: $-7 + (-9) = -16$. Эта пара удовлетворяет обоим условиям.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -7$ и $x_2 = -9$.

Проведем проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение:

Для $x = -7$: $(-7)^2 + 16(-7) + 63 = 49 - 112 + 63 = 112 - 112 = 0$. Верно.

Для $x = -9$: $(-9)^2 + 16(-9) + 63 = 81 - 144 + 63 = 144 - 144 = 0$. Верно.

Ответ: $-9; -7$.

б) $x^2 + 2x - 48 = 0$

Это также приведенное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Здесь коэффициенты $p = 2$ и $q = -48$. Искомые корни $x_1$ и $x_2$ должны удовлетворять системе:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -48$

Так как произведение корней ($-48$) отрицательно, то корни имеют разные знаки. Поскольку их сумма ($-2$) отрицательна, отрицательный корень по модулю больше положительного. Будем подбирать пары множителей числа $-48$, удовлетворяющие этому условию.

1. Пара $(1, -48)$. Сумма: $1 + (-48) = -47$. Не подходит.

2. Пара $(2, -24)$. Сумма: $2 + (-24) = -22$. Не подходит.

3. Пара $(3, -16)$. Сумма: $3 + (-16) = -13$. Не подходит.

4. Пара $(4, -12)$. Сумма: $4 + (-12) = -8$. Не подходит.

5. Пара $(6, -8)$. Сумма: $6 + (-8) = -2$. Эта пара подходит.

Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -8$.

Проведем проверку:

Для $x = 6$: $6^2 + 2(6) - 48 = 36 + 12 - 48 = 48 - 48 = 0$. Верно.

Для $x = -8$: $(-8)^2 + 2(-8) - 48 = 64 - 16 - 48 = 64 - 64 = 0$. Верно.

Ответ: $-8; 6$.