Номер 577, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 577, страница 133.

577. Найдите значение выражения:

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - b}{2\sqrt{ab} + 2b + 1}$ при $a = 5, b = 2$.

Для нахождения значения выражения $\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - b}{2\sqrt{ab} + 2b + 1}$ при $a = 5$ и $b = 2$ можно сначала упростить его, а затем подставить числовые значения.

1. Упростим числитель. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$.

Теперь вычтем $b$ из полученного результата:

$(a + 2\sqrt{ab} + b) - b = a + 2\sqrt{ab}$.

2. После упрощения числителя исходное выражение принимает вид:

$\frac{a + 2\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab} + 2b + 1}$

3. Теперь подставим в полученное выражение значения $a=5$ и $b=2$.

Вычислим значение числителя:

$a + 2\sqrt{ab} = 5 + 2\sqrt{5 \cdot 2} = 5 + 2\sqrt{10}$.

Вычислим значение знаменателя:

$2\sqrt{ab} + 2b + 1 = 2\sqrt{5 \cdot 2} + 2 \cdot 2 + 1 = 2\sqrt{10} + 4 + 1 = 5 + 2\sqrt{10}$.

4. Найдем значение всей дроби:

$\frac{5 + 2\sqrt{10}}{5 + 2\sqrt{10}} = 1$.

Так как числитель равен знаменателю, и знаменатель не равен нулю ($5 + 2\sqrt{10} \neq 0$), значение выражения равно 1.

Ответ: 1