Страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

573. В шахматном турнире было сыграно 45 партий. Определите число участников турнира, если известно, что каждый участник сыграл с каждым по одной партии.

Пусть $n$ — это число участников шахматного турнира.

По условию задачи, каждый участник сыграл с каждым другим участником ровно одну партию. Это означает, что общее количество сыгранных партий равно числу сочетаний из $n$ участников по 2, так как каждая партия — это уникальная пара из двух игроков.

Формула для числа сочетаний из $n$ по 2 имеет вид:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Известно, что всего было сыграно 45 партий. Следовательно, мы можем составить уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 45$

Для решения этого уравнения умножим обе части на 2:

$n(n-1) = 90$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$n^2 - n - 90 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$

Найдем корни уравнения:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 19}{2}$

Получаем два корня:

$n_1 = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$n_2 = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Поскольку число участников турнира ($n$) не может быть отрицательным, корень $n_2 = -9$ не является решением задачи. Следовательно, число участников турнира равно 10.

Ответ: 10 участников.

575. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 869.

Пусть искомые три последовательных целых числа равны $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — целое число. Такая запись удобна, так как она упрощает алгебраические преобразования.

Согласно условию задачи, сумма квадратов этих чисел равна 869. Составим и решим уравнение:

$(n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = 869$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и квадрат суммы):

$(n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 869$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Обратите внимание, что члены $-2n$ и $+2n$ взаимно уничтожаются:

$3n^2 + 2 = 869$

Перенесем 2 в правую часть уравнения:

$3n^2 = 869 - 2$

$3n^2 = 867$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $n^2$:

$n^2 = \frac{867}{3}$

$n^2 = 289$

Теперь найдем $n$, извлекая квадратный корень из 289. У этого уравнения есть два корня:

$n = \pm \sqrt{289}$

$n_1 = 17$ и $n_2 = -17$

Поскольку мы получили два значения для $n$, существует два набора чисел, удовлетворяющих условию задачи.

1. Случай, когда $n = 17$:

Первое число: $n - 1 = 17 - 1 = 16$

Второе число: $n = 17$

Третье число: $n + 1 = 17 + 1 = 18$

Таким образом, первая тройка чисел: 16, 17, 18.

Проверим: $16^2 + 17^2 + 18^2 = 256 + 289 + 324 = 545 + 324 = 869$. Верно.

2. Случай, когда $n = -17$:

Первое число: $n - 1 = -17 - 1 = -18$

Второе число: $n = -17$

Третье число: $n + 1 = -17 + 1 = -16$

Таким образом, вторая тройка чисел: -18, -17, -16.

Проверим: $(-18)^2 + (-17)^2 + (-16)^2 = 324 + 289 + 256 = 869$. Верно.

Ответ: 16, 17, 18 или -18, -17, -16.

577. Найдите значение выражения:

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - b}{2\sqrt{ab} + 2b + 1}$ при $a = 5, b = 2$.

Для нахождения значения выражения $\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - b}{2\sqrt{ab} + 2b + 1}$ при $a = 5$ и $b = 2$ можно сначала упростить его, а затем подставить числовые значения.

1. Упростим числитель. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$.

Теперь вычтем $b$ из полученного результата:

$(a + 2\sqrt{ab} + b) - b = a + 2\sqrt{ab}$.

2. После упрощения числителя исходное выражение принимает вид:

$\frac{a + 2\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab} + 2b + 1}$

3. Теперь подставим в полученное выражение значения $a=5$ и $b=2$.

Вычислим значение числителя:

$a + 2\sqrt{ab} = 5 + 2\sqrt{5 \cdot 2} = 5 + 2\sqrt{10}$.

Вычислим значение знаменателя:

$2\sqrt{ab} + 2b + 1 = 2\sqrt{5 \cdot 2} + 2 \cdot 2 + 1 = 2\sqrt{10} + 4 + 1 = 5 + 2\sqrt{10}$.

4. Найдем значение всей дроби:

$\frac{5 + 2\sqrt{10}}{5 + 2\sqrt{10}} = 1$.

Так как числитель равен знаменателю, и знаменатель не равен нулю ($5 + 2\sqrt{10} \neq 0$), значение выражения равно 1.

Ответ: 1

579. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции $y = 13x - 2.6$ с осью $x$ и осью $y$.

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осями координат, необходимо поочередно приравнять к нулю каждую из координат ($x$ и $y$).

с осью x

Точка пересечения графика с осью абсцисс (осью $x$) имеет ординату, равную нулю, то есть $y=0$. Подставим это значение в уравнение функции $y = 13x - 2,6$ и решим его относительно $x$.

$0 = 13x - 2,6$

Перенесем $2,6$ в левую часть уравнения, изменив знак:

$13x = 2,6$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 13:

$x = \frac{2,6}{13}$

$x = 0,2$

Таким образом, координаты точки пересечения с осью $x$ равны $(0,2; 0)$.

Ответ: $(0,2; 0)$.

с осью y

Точка пересечения графика с осью ординат (осью $y$) имеет абсциссу, равную нулю, то есть $x=0$. Подставим это значение в уравнение функции $y = 13x - 2,6$ и вычислим $y$.

$y = 13 \cdot 0 - 2,6$

$y = 0 - 2,6$

$y = -2,6$

Таким образом, координаты точки пересечения с осью $y$ равны $(0; -2,6)$.

Ответ: $(0; -2,6)$.

572. При розыгрыше первенства школы по футболу было сыграно 36 матчей, причём каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Сколько команд участвовало в розыгрыше?

Пусть $n$ — искомое количество команд. В турнире, где каждая команда играет с каждой по одному разу, общее количество матчей равно числу сочетаний из $n$ команд по 2. Это связано с тем, что каждый матч — это уникальная пара из двух команд.

Формула для числа сочетаний из $n$ по 2 (то есть количество пар, которые можно составить из $n$ объектов) выглядит следующим образом:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Согласно условию задачи, общее количество сыгранных матчей равно 36. Мы можем составить уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 36$

Для решения этого уравнения умножим обе части на 2:

$n(n-1) = 72$

Это уравнение можно решить, найдя два последовательных целых числа, произведение которых равно 72. Такими числами являются 9 и 8, поскольку $9 \times 8 = 72$. Следовательно, $n = 9$.

Также можно решить это уравнение как квадратное. Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:

$n^2 - n = 72$

$n^2 - n - 72 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 = 17^2$

Корни уравнения равны:

$n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Поскольку количество команд не может быть отрицательным числом, корень $n = -8$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи. Таким образом, единственным верным решением является $n = 9$.

Ответ: в розыгрыше участвовало 9 команд.

574. От прямоугольного листа картона, длина которого равна $60 \text{ см}$, а ширина — $40 \text{ см}$, отрезали по углам равные квадраты и из оставшейся части склеили открытую коробку. Найдите сторону квадрата, если известно, что площадь основания коробки равна $800 \text{ см}^2$.

Пусть сторона вырезаемого квадрата равна $x$ см. Когда по углам прямоугольного листа картона вырезают одинаковые квадраты, а оставшиеся края загибают, получается открытая коробка. Основанием этой коробки является центральная прямоугольная часть исходного листа.

Изначальные размеры листа картона: длина — $60$ см, ширина — $40$ см. Так как с каждой из двух сторон, образующих длину, отрезается по квадрату со стороной $x$, то длина основания получившейся коробки будет равна $60 - 2x$ см. Аналогично, ширина основания коробки будет равна $40 - 2x$ см.

Площадь основания коробки, $S_{осн}$, вычисляется как произведение его длины на ширину: $S_{осн} = (60 - 2x)(40 - 2x)$.

Согласно условию задачи, площадь основания равна $800$ см². Составим и решим уравнение: $(60 - 2x)(40 - 2x) = 800$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $2400 - 120x - 80x + 4x^2 = 800$ $4x^2 - 200x + 2400 - 800 = 0$ $4x^2 - 200x + 1600 = 0$.

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на $4$: $x^2 - 50x + 400 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400 = 2500 - 1600 = 900$. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{900} = 30$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{50 + 30}{2} = \frac{80}{2} = 40$. $x_2 = \frac{50 - 30}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Проверим, какой из найденных корней соответствует условиям задачи. Длина выреза $2x$ не может быть больше, чем ширина листа картона. Ширина листа — $40$ см. Следовательно, должно выполняться неравенство $2x < 40$, из которого следует $x < 20$.

Корень $x_1 = 40$ не удовлетворяет условию $x < 20$. Этот корень является посторонним, так как при таком значении $x$ ширина основания коробки была бы $40 - 2 \cdot 40 = -40$ см, что физически невозможно.

Корень $x_2 = 10$ удовлетворяет условию $x < 20$. Проверим его. Если сторона вырезанного квадрата равна $10$ см, то размеры основания коробки будут: Длина: $60 - 2 \cdot 10 = 40$ см. Ширина: $40 - 2 \cdot 10 = 20$ см. Площадь основания: $40 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 800 \text{ см}^2$. Полученное значение совпадает с данным в условии, следовательно, это и есть искомая величина.

Ответ: 10 см.

576. Сократите дробь:

a) $\frac{8a^3 - 27}{9 - 12a + 4a^2}$;

б) $\frac{ax - 2x - 4a + 8}{3a - 6 - ax + 2x}$.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{8a^3 - 27}{9 - 12a + 4a^2} $, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель представляет собой разность кубов. Воспользуемся формулой разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$8a^3 - 27 = (2a)^3 - 3^3 = (2a - 3)((2a)^2 + 2a \cdot 3 + 3^2) = (2a - 3)(4a^2 + 6a + 9)$.

Знаменатель является полным квадратом. Перепишем его в стандартном виде $4a^2 - 12a + 9$ и применим формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$9 - 12a + 4a^2 = 4a^2 - 12a + 9 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = (2a - 3)^2$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим:

$ \frac{8a^3 - 27}{9 - 12a + 4a^2} = \frac{(2a - 3)(4a^2 + 6a + 9)}{(2a - 3)^2} = \frac{4a^2 + 6a + 9}{2a - 3} $.

Сокращение возможно при условии, что $2a - 3 \neq 0$, то есть $a \neq 1.5$.

Ответ: $ \frac{4a^2 + 6a + 9}{2a - 3} $.

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{ax - 2x - 4a + 8}{3a - 6 - ax + 2x} $, разложим числитель и знаменатель на множители методом группировки.

В числителе сгруппируем слагаемые:

$ax - 2x - 4a + 8 = (ax - 2x) + (-4a + 8) = x(a - 2) - 4(a - 2) = (a - 2)(x - 4)$.

В знаменателе также сгруппируем слагаемые:

$3a - 6 - ax + 2x = (3a - 6) + (-ax + 2x) = 3(a - 2) - x(a - 2) = (a - 2)(3 - x)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $(a - 2)$:

$ \frac{(a - 2)(x - 4)}{(a - 2)(3 - x)} = \frac{x - 4}{3 - x} $.

Сокращение возможно при условии, что $a - 2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$, и $3 - x \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

Ответ: $ \frac{x - 4}{3 - x} $.

578. Решите уравнение:

a) $\frac{x(x-3)}{6} - \frac{x}{2} = 0;$

б) $\frac{x(x+1)}{3} + \frac{8+x}{4} = 2.$

Дано уравнение: $ \frac{x(x-3)}{6} - \frac{x}{2} = 0 $

Чтобы избавиться от дробей, приведем левую часть к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 2 — это 6. Домножим вторую дробь на 3:

$ \frac{x(x-3)}{6} - \frac{3x}{6} = 0 $

Теперь можно записать все под одним знаменателем:

$ \frac{x(x-3) - 3x}{6} = 0 $

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Так как знаменатель 6 не равен 0, приравняем числитель к нулю:

$ x(x-3) - 3x = 0 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ x^2 - 3x - 3x = 0 $

$ x^2 - 6x = 0 $

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$ x(x-6) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$ x_1 = 0 $

или

$ x - 6 = 0 \Rightarrow x_2 = 6 $

Ответ: $0; 6$.

Дано уравнение: $ \frac{x(x+1)}{3} + \frac{8+x}{4} = 2 $

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12:

$ 12 \cdot \left(\frac{x(x+1)}{3} + \frac{8+x}{4}\right) = 12 \cdot 2 $

$ \frac{12 \cdot x(x+1)}{3} + \frac{12 \cdot (8+x)}{4} = 24 $

Сократим дроби:

$ 4x(x+1) + 3(8+x) = 24 $

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$ 4x^2 + 4x + 24 + 3x = 24 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 4x^2 + (4x+3x) + 24 = 24 $

$ 4x^2 + 7x + 24 = 24 $

Перенесем 24 из правой части в левую:

$ 4x^2 + 7x + 24 - 24 = 0 $

$ 4x^2 + 7x = 0 $

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$ x(4x+7) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$ x_1 = 0 $

или

$ 4x+7 = 0 \Rightarrow 4x = -7 \Rightarrow x_2 = -\frac{7}{4} $

Ответ: $0; -\frac{7}{4}$.