Страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

533. Вычислите дискриминант квадратного уравнения и укажите число его корней:

а) $2x^2 + 3x + 1 = 0;$

б) $2x^2 + x + 2 = 0;$

в) $9x^2 + 6x + 1 = 0;$

г) $x^2 + 5x - 6 = 0.$

Для решения задачи воспользуемся общей формулой для нахождения дискриминанта квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$D = b^2 - 4ac$

Количество корней уравнения определяется знаком дискриминанта:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

а) $2x^2 + 3x + 1 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 3$, $c = 1$.

Вычисляем дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Так как $D = 1 > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Ответ: Дискриминант равен 1, уравнение имеет 2 корня.

б) $2x^2 + x + 2 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 1$, $c = 2$.

Вычисляем дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$

Так как $D = -15 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Дискриминант равен -15, уравнение не имеет корней.

в) $9x^2 + 6x + 1 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 9$, $b = 6$, $c = 1$.

Вычисляем дискриминант:

$D = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0$

Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень.

Ответ: Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень.

г) $x^2 + 5x - 6 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 5$, $c = -6$.

Вычисляем дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

Так как $D = 49 > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Ответ: Дискриминант равен 49, уравнение имеет 2 корня.

535. Решите уравнение:

а) $14x^2 - 5x - 1 = 0;$

б) $-y^2 + 3y + 5 = 0;$

в) $2x^2 + x + 67 = 0;$

г) $1 - 18p + 81p^2 = 0;$

д) $-11y + y^2 - 152 = 0;$

е) $18 + 3x^2 - x = 0.$

а) Дано квадратное уравнение $14x^2 - 5x - 1 = 0$.
Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 14$, $b = -5$, $c = -1$.
Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-1) = 25 + 56 = 81$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5) + 9}{2 \cdot 14} = \frac{5 + 9}{28} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-(-5) - 9}{2 \cdot 14} = \frac{5 - 9}{28} = \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}$.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{7}$.

б) Дано уравнение $-y^2 + 3y + 5 = 0$.
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $y^2$ стал положительным: $y^2 - 3y - 5 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$ с коэффициентами: $a = 1$, $b = -3$, $c = -5$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$.
$y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$.
Ответ: $y_1 = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$, $y_2 = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$.

в) Дано уравнение $2x^2 + x + 67 = 0$.
Коэффициенты: $a = 2$, $b = 1$, $c = 67$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 67 = 1 - 536 = -535$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

г) Дано уравнение $1 - 18p + 81p^2 = 0$.
Перепишем его в стандартном виде: $81p^2 - 18p + 1 = 0$.
Можно заметить, что левая часть является полным квадратом разности: $(9p - 1)^2 = (9p)^2 - 2 \cdot 9p \cdot 1 + 1^2 = 81p^2 - 18p + 1$.
Таким образом, уравнение принимает вид $(9p - 1)^2 = 0$.
Отсюда следует, что $9p - 1 = 0$.
$9p = 1$.
$p = \frac{1}{9}$.
Альтернативное решение через дискриминант:
$a = 81$, $b = -18$, $c = 1$.
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 81 \cdot 1 = 324 - 324 = 0$.
Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень: $p = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-18)}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $p = \frac{1}{9}$.

д) Дано уравнение $-11y + y^2 - 152 = 0$.
Перепишем его в стандартном виде: $y^2 - 11y - 152 = 0$.
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -11$, $c = -152$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-152) = 121 + 608 = 729$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-11) + 27}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 27}{2} = \frac{38}{2} = 19$.
$y_2 = \frac{-(-11) - 27}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 27}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.
Ответ: $y_1 = 19$, $y_2 = -8$.

е) Дано уравнение $18 + 3x^2 - x = 0$.
Перепишем его в стандартном виде: $3x^2 - x + 18 = 0$.
Коэффициенты: $a = 3$, $b = -1$, $c = 18$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 1 - 216 = -215$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

537. При каких значениях x:

a) трёхчлен $x^2 - 11x + 31$ принимает значение, равное 1;

б) значения многочленов $x^2 - 5x - 3$ и $2x - 5$ равны;

в) двучлен $7x + 1$ равен трёхчлену $3x^2 - 2x + 1$;

г) трёхчлен $-2x^2 + 5x + 6$ равен двучлену $4x^2 + 5x$?

а)

Чтобы найти значения $x$, при которых трёхчлен $x^2 - 11x + 31$ принимает значение, равное 1, необходимо составить и решить уравнение:

$x^2 - 11x + 31 = 1$

Перенесём 1 в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 11x + 31 - 1 = 0$

$x^2 - 11x + 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые мы найдём по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Ответ: 5; 6.

б)

Чтобы найти значения $x$, при которых значения многочленов $x^2 - 5x - 3$ и $2x - 5$ равны, нужно приравнять их и решить полученное уравнение:

$x^2 - 5x - 3 = 2x - 5$

Перенесём все члены в левую часть уравнения и приведём подобные слагаемые:

$x^2 - 5x - 3 - 2x + 5 = 0$

$x^2 - 7x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 49 - 8 = 41$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдём их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2}$

Ответ: $\frac{7 - \sqrt{41}}{2}$; $\frac{7 + \sqrt{41}}{2}$.

в)

Для того чтобы двучлен $7x + 1$ был равен трёхчлену $3x^2 - 2x + 1$, составим и решим уравнение:

$7x + 1 = 3x^2 - 2x + 1$

Перенесём все члены в одну сторону (в правую, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным):

$0 = 3x^2 - 2x + 1 - 7x - 1$

Приведём подобные слагаемые:

$3x^2 - 9x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$3x = 0$ или $x - 3 = 0$

$x_1 = 0$

$x_2 = 3$

Ответ: 0; 3.

г)

Чтобы найти значения $x$, при которых трёхчлен $-2x^2 + 5x + 6$ равен двучлену $4x^2 + 5x$, приравняем их:

$-2x^2 + 5x + 6 = 4x^2 + 5x$

Перенесём все члены в правую часть уравнения:

$0 = 4x^2 + 5x - (-2x^2 + 5x + 6)$

$0 = 4x^2 + 5x + 2x^2 - 5x - 6$

Приведём подобные слагаемые:

$0 = 6x^2 - 6$

Решим это неполное квадратное уравнение:

$6x^2 = 6$

$x^2 = \frac{6}{6}$

$x^2 = 1$

Уравнение имеет два корня:

$x = \pm \sqrt{1}$

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$

Ответ: -1; 1.

539. Решите уравнение, используя формулу (II):

а) $3x^2 - 14x + 16 = 0;$
б) $5x^2 - 16x + 3 = 0;$
в) $x^2 + 2x - 80 = 0;$
г) $x^2 - 22x - 23 = 0;$
д) $4x^2 - 36x + 77 = 0;$
е) $15y^2 - 22y - 37 = 0;$
ж) $7z^2 - 20z + 14 = 0;$
з) $y^2 - 10y - 25 = 0.$

а) $3x^2 - 14x + 16 = 0$
Для решения квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом ($b = 2k$) используется так называемая формула (II), которая упрощает вычисления. Корни находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$ и $D_1 = k^2 - ac$.
В данном уравнении коэффициенты: $a=3$, $b=-14$, $c=16$.
Находим $k$: $k = \frac{-14}{2} = -7$.
Вычисляем упрощенный дискриминант $D_1$: $D_1 = (-7)^2 - 3 \cdot 16 = 49 - 48 = 1$.
Находим корни: $x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{3} = \frac{7 \pm 1}{3}$.
$x_1 = \frac{7-1}{3} = \frac{6}{3} = 2$.
$x_2 = \frac{7+1}{3} = \frac{8}{3}$.
Ответ: $2; \frac{8}{3}$.

б) $5x^2 - 16x + 3 = 0$
Решаем по формуле (II). Коэффициенты: $a=5$, $b=-16$, $c=3$.
$k = \frac{-16}{2} = -8$.
$D_1 = k^2 - ac = (-8)^2 - 5 \cdot 3 = 64 - 15 = 49$.
$x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{49}}{5} = \frac{8 \pm 7}{5}$.
$x_1 = \frac{8-7}{5} = \frac{1}{5}$.
$x_2 = \frac{8+7}{5} = \frac{15}{5} = 3$.
Ответ: $\frac{1}{5}; 3$.

в) $x^2 + 2x - 80 = 0$
Решаем по формуле (II). Коэффициенты: $a=1$, $b=2$, $c=-80$.
$k = \frac{2}{2} = 1$.
$D_1 = k^2 - ac = 1^2 - 1 \cdot (-80) = 1 + 80 = 81$.
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{1} = -1 \pm 9$.
$x_1 = -1 - 9 = -10$.
$x_2 = -1 + 9 = 8$.
Ответ: $-10; 8$.

г) $x^2 - 22x - 23 = 0$
Решаем по формуле (II). Коэффициенты: $a=1$, $b=-22$, $c=-23$.
$k = \frac{-22}{2} = -11$.
$D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 1 \cdot (-23) = 121 + 23 = 144$.
$x_{1,2} = \frac{-(-11) \pm \sqrt{144}}{1} = 11 \pm 12$.
$x_1 = 11 - 12 = -1$.
$x_2 = 11 + 12 = 23$.
Ответ: $-1; 23$.

д) $4x^2 - 36x + 77 = 0$
Решаем по формуле (II). Коэффициенты: $a=4$, $b=-36$, $c=77$.
$k = \frac{-36}{2} = -18$.
$D_1 = k^2 - ac = (-18)^2 - 4 \cdot 77 = 324 - 308 = 16$.
$x_{1,2} = \frac{-(-18) \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{18 \pm 4}{4}$.
$x_1 = \frac{18-4}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$.
$x_2 = \frac{18+4}{4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2}$.
Ответ: $\frac{7}{2}; \frac{11}{2}$.

е) $15y^2 - 22y - 37 = 0$
Решаем по формуле (II). Коэффициенты: $a=15$, $b=-22$, $c=-37$.
$k = \frac{-22}{2} = -11$.
$D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 15 \cdot (-37) = 121 + 555 = 676$.
$y_{1,2} = \frac{-(-11) \pm \sqrt{676}}{15} = \frac{11 \pm 26}{15}$.
$y_1 = \frac{11-26}{15} = \frac{-15}{15} = -1$.
$y_2 = \frac{11+26}{15} = \frac{37}{15}$.
Ответ: $-1; \frac{37}{15}$.

ж) $7z^2 - 20z + 14 = 0$
Решаем по формуле (II). Коэффициенты: $a=7$, $b=-20$, $c=14$.
$k = \frac{-20}{2} = -10$.
$D_1 = k^2 - ac = (-10)^2 - 7 \cdot 14 = 100 - 98 = 2$.
$z_{1,2} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{2}}{7} = \frac{10 \pm \sqrt{2}}{7}$.
Ответ: $\frac{10 \pm \sqrt{2}}{7}$.

з) $y^2 - 10y - 25 = 0$
Решаем по формуле (II). Коэффициенты: $a=1$, $b=-10$, $c=-25$.
$k = \frac{-10}{2} = -5$.
$D_1 = k^2 - ac = (-5)^2 - 1 \cdot (-25) = 25 + 25 = 50$.
$y_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{50}}{1} = 5 \pm \sqrt{25 \cdot 2} = 5 \pm 5\sqrt{2}$.
Ответ: $5 \pm 5\sqrt{2}$.

541. Решите уравнение:

а) $2x^2 - 5x - 3 = 0;$

б) $3x^2 - 8x + 5 = 0;$

в) $5x^2 + 9x + 4 = 0;$

г) $36y^2 - 12y + 1 = 0;$

д) $3t^2 - 3t + 1 = 0;$

е) $x^2 + 9x - 22 = 0;$

ж) $y^2 - 12y + 32 = 0;$

з) $100x^2 - 160x + 63 = 0.$

а) Для решения квадратного уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$ найдем дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=-5$, $c=-3$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Подставляем значения: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. $x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$. $x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$. Ответ: $3; -0.5$.

б) В уравнении $3x^2 - 8x + 5 = 0$ коэффициенты равны $a=3$, $b=-8$, $c=5$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$. Так как $D > 0$, есть два корня. Найдем их: $x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$. $x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$. Ответ: $1; 1\frac{2}{3}$.

в) Для уравнения $5x^2 + 9x + 4 = 0$ ($a=5, b=9, c=4$) вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 81 - 80 = 1$. Так как $D > 0$, находим два корня: $x_1 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 + 1}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8$. $x_2 = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 - 1}{10} = \frac{-10}{10} = -1$. Ответ: $-1; -0.8$.

г) Уравнение $36y^2 - 12y + 1 = 0$ является полным квадратом разности. Его можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=6y$ и $b=1$. Получаем: $(6y - 1)^2 = 0$. Отсюда $6y - 1 = 0$, $6y = 1$, $y = \frac{1}{6}$. Также можно решить через дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 144 - 144 = 0$. При $D=0$ корень один: $y = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{2 \cdot 36} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$. Ответ: $\frac{1}{6}$.

д) В уравнении $3t^2 - 3t + 1 = 0$ ($a=3, b=-3, c=1$) найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 9 - 12 = -3$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: нет действительных корней.

е) Для решения уравнения $x^2 + 9x - 22 = 0$ можно использовать теорему Виета, так как это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Сумма корней $x_1 + x_2 = -9$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -22$. Методом подбора находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -11$. Проверка через дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-9 \pm 13}{2}$, что дает $x_1 = \frac{4}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{-22}{2} = -11$. Ответ: $-11; 2$.

ж) Уравнение $y^2 - 12y + 32 = 0$ также является приведенным. По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 12$ и $y_1 \cdot y_2 = 32$. Подбираем корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = 8$. Проверка через дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$. Корни: $y_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2}$, что дает $y_1 = \frac{16}{2} = 8$ и $y_2 = \frac{8}{2} = 4$. Ответ: $4; 8$.

з) Решим уравнение $100x^2 - 160x + 63 = 0$. Коэффициенты: $a=100, b=-160, c=63$. $D = b^2 - 4ac = (-160)^2 - 4 \cdot 100 \cdot 63 = 25600 - 25200 = 400$. $x_1 = \frac{-(-160) + \sqrt{400}}{2 \cdot 100} = \frac{160 + 20}{200} = \frac{180}{200} = \frac{9}{10} = 0.9$. $x_2 = \frac{-(-160) - \sqrt{400}}{2 \cdot 100} = \frac{160 - 20}{200} = \frac{140}{200} = \frac{7}{10} = 0.7$. Ответ: $0.7; 0.9$.

534. Решите уравнение:

а) $3x^2 - 7x + 4 = 0;$

б) $5x^2 - 8x + 3 = 0;$

в) $3x^2 - 13x + 14 = 0;$

г) $2y^2 - 9y + 10 = 0;$

д) $5y^2 - 6y + 1 = 0;$

е) $4x^2 + x - 33 = 0;$

ж) $y^2 - 10y - 24 = 0;$

з) $p^2 + p - 90 = 0.$

а) $3x^2 - 7x + 4 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Определим его коэффициенты: $a=3$, $b=-7$, $c=4$.
Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$
Ответ: $1; \frac{4}{3}$.

б) $5x^2 - 8x + 3 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=5$, $b=-8$, $c=3$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Ответ: $\frac{3}{5}; 1$.

в) $3x^2 - 13x + 14 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=-13$, $c=14$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
$x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$
Ответ: $2; \frac{7}{3}$.

г) $2y^2 - 9y + 10 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=-9$, $c=10$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$
$y_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$
Ответ: $2; 2,5$.

д) $5y^2 - 6y + 1 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=5$, $b=-6$, $c=1$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$y_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}; 1$.

е) $4x^2 + x - 33 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=4$, $b=1$, $c=-33$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-33) = 1 + 528 = 529$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Заметим, что $\sqrt{529} = 23$. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + 23}{2 \cdot 4} = \frac{22}{8} = \frac{11}{4} = 2,75$
$x_2 = \frac{-1 - 23}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3$
Ответ: $-3; 2,75$.

ж) $y^2 - 10y - 24 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-10$, $c=-24$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Заметим, что $\sqrt{196} = 14$. Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-10) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$y_2 = \frac{-(-10) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Ответ: $-2; 12$.

з) $p^2 + p - 90 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=1$, $c=-90$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Заметим, что $\sqrt{361} = 19$. Найдем корни по формуле $p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$p_1 = \frac{-1 + 19}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$
$p_2 = \frac{-1 - 19}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$
Ответ: $-10; 9$.

536. Найдите корни уравнения:

а) $5x^2 - 11x + 2 = 0;$

б) $2p^2 + 7p - 30 = 0;$

в) $9y^2 - 30y + 25 = 0;$

г) $35x^2 + 2x - 1 = 0;$

д) $2y^2 - y - 5 = 0;$

е) $16x^2 - 8x + 1 = 0.$

а) $5x^2 - 11x + 2 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=5$, $b=-11$, $c=2$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-11) + 9}{2 \cdot 5} = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2$.
$x_2 = \frac{-(-11) - 9}{2 \cdot 5} = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $2; \frac{1}{5}$.

б) $2p^2 + 7p - 30 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ap^2 + bp + c = 0$, где $a=2$, $b=7$, $c=-30$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.
Найдем корни по формуле $p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$p_1 = \frac{-7 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$.
$p_2 = \frac{-7 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$.
Ответ: $2,5; -6$.

в) $9y^2 - 30y + 25 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$, где $a=9$, $b=-30$, $c=25$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-30)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900 - 900 = 0$.
Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень.
Найдем корень по формуле $y = \frac{-b}{2a}$:
$y = \frac{-(-30)}{2 \cdot 9} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}$.
Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $(3y - 5)^2 = 0$.
Ответ: $\frac{5}{3}$.

г) $35x^2 + 2x - 1 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=35$, $b=2$, $c=-1$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 35 \cdot (-1) = 4 + 140 = 144$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2 + 12}{2 \cdot 35} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$.
$x_2 = \frac{-2 - 12}{2 \cdot 35} = \frac{-14}{70} = -\frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{7}; -\frac{1}{5}$.

д) $2y^2 - y - 5 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$, где $a=2$, $b=-1$, $c=-5$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 1 + 40 = 41$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{4}$.
Ответ: $\frac{1 \pm \sqrt{41}}{4}$.

е) $16x^2 - 8x + 1 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=16$, $b=-8$, $c=1$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0$.
Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень.
Найдем корень по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:
$x = \frac{-(-8)}{2 \cdot 16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.
Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $(4x - 1)^2 = 0$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

538. При каких значениях x принимают равные значения:

а) двучлены $x^2 - 6x$ и $5x - 18$;

б) трёхчлены $3x^2 - 4x + 3$ и $x^2 + x + 1$?

а)

Чтобы найти значения $x$, при которых двучлены $x^2 - 6x$ и $5x - 18$ принимают равные значения, необходимо приравнять их друг к другу и решить полученное уравнение:

$x^2 - 6x = 5x - 18$

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 6x - 5x + 18 = 0$

$x^2 - 11x + 18 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем корни через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -11$, $c = 18$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, двучлены равны при $x=2$ и $x=9$.

Ответ: 2; 9.

б)

Чтобы найти значения $x$, при которых трёхчлены $3x^2 - 4x + 3$ и $x^2 + x + 1$ принимают равные значения, приравняем их:

$3x^2 - 4x + 3 = x^2 + x + 1$

Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые:

$3x^2 - x^2 - 4x - x + 3 - 1 = 0$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.

Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -5$, $c = 2$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Таким образом, трёхчлены равны при $x=2$ и $x=0,5$.

Ответ: 0,5; 2.

540. Решите уравнение:

a) $8x^2 - 14x + 5 = 0;$

б) $12x^2 + 16x - 3 = 0;$

в) $4x^2 + 4x + 1 = 0;$

г) $x^2 - 8x - 84 = 0;$

д) $x^2 + 6x - 19 = 0;$

е) $5x^2 + 26x - 24 = 0;$

ж) $x^2 - 34x + 289 = 0;$

з) $3x^2 + 32x + 80 = 0.$

а) $8x^2 - 14x + 5 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 8$, $b = -14$, $c = 5$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 5 = 196 - 160 = 36$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{14 + 6}{16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4} = 1.25$.

$x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{14 - 6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: $1.25; 0.5$.

б) $12x^2 + 16x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 12$, $b = 16$, $c = -3$.

Так как коэффициент $b$ четный, можно использовать формулу для $D/4 = (b/2)^2 - ac$:

$D/4 = (16/2)^2 - 12 \cdot (-3) = 8^2 + 36 = 64 + 36 = 100$.

Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b/2 \pm \sqrt{D/4}}{a}$:

$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{12} = \frac{-8 + 10}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{12} = \frac{-8 - 10}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} = -1.5$.

Ответ: $\frac{1}{6}; -1.5$.

в) $4x^2 + 4x + 1 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом:

$4x^2 + 4x + 1 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = (2x + 1)^2$.

Уравнение принимает вид $(2x + 1)^2 = 0$.

$2x + 1 = 0$

$2x = -1$

$x = -1/2 = -0.5$.

Уравнение имеет один корень.

Ответ: $-0.5$.

г) $x^2 - 8x - 84 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -8$, $c = -84$.

Используем формулу для $D/4 = (b/2)^2 - ac$, так как $b$ четное:

$D/4 = (-8/2)^2 - 1 \cdot (-84) = (-4)^2 + 84 = 16 + 84 = 100$.

Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b/2 \pm \sqrt{D/4}}{a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{1} = 4 + 10 = 14$.

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{1} = 4 - 10 = -6$.

Ответ: $14; -6$.

д) $x^2 + 6x - 19 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = 6$, $c = -19$.

Используем формулу для $D/4 = (b/2)^2 - ac$, так как $b$ четное:

$D/4 = (6/2)^2 - 1 \cdot (-19) = 3^2 + 19 = 9 + 19 = 28$.

Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b/2 \pm \sqrt{D/4}}{a}$:

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{28}}{1} = -3 \pm \sqrt{4 \cdot 7} = -3 \pm 2\sqrt{7}$.

$x_1 = -3 + 2\sqrt{7}$.

$x_2 = -3 - 2\sqrt{7}$.

Ответ: $-3 \pm 2\sqrt{7}$.

е) $5x^2 + 26x - 24 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 5$, $b = 26$, $c = -24$.

Используем формулу для $D/4 = (b/2)^2 - ac$, так как $b$ четное:

$D/4 = (26/2)^2 - 5 \cdot (-24) = 13^2 + 120 = 169 + 120 = 289$.

Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b/2 \pm \sqrt{D/4}}{a}$:

$x_1 = \frac{-13 + \sqrt{289}}{5} = \frac{-13 + 17}{5} = \frac{4}{5} = 0.8$.

$x_2 = \frac{-13 - \sqrt{289}}{5} = \frac{-13 - 17}{5} = \frac{-30}{5} = -6$.

Ответ: $0.8; -6$.

ж) $x^2 - 34x + 289 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом, так как $289 = 17^2$ и $2 \cdot 17 = 34$.

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 17 + 17^2 = (x - 17)^2$.

Уравнение принимает вид $(x - 17)^2 = 0$.

$x - 17 = 0$

$x = 17$.

Уравнение имеет один корень.

Ответ: $17$.

з) $3x^2 + 32x + 80 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 3$, $b = 32$, $c = 80$.

Используем формулу для $D/4 = (b/2)^2 - ac$, так как $b$ четное:

$D/4 = (32/2)^2 - 3 \cdot 80 = 16^2 - 240 = 256 - 240 = 16$.

Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b/2 \pm \sqrt{D/4}}{a}$:

$x_1 = \frac{-16 + \sqrt{16}}{3} = \frac{-16 + 4}{3} = \frac{-12}{3} = -4$.

$x_2 = \frac{-16 - \sqrt{16}}{3} = \frac{-16 - 4}{3} = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3}$.

Ответ: $-4; -6\frac{2}{3}$.