Страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

513. Назовите в квадратном уравнении его коэффициенты:

а) $5x^2 - 9x + 4 = 0;$

б) $x^2 + 3x - 10 = 0;$

в) $-x^2 - 8x + 1 = 0;$

г) $x^2 + 5x = 0;$

д) $6x^2 - 30 = 0;$

е) $9x^2 = 0.$

Какие из данных уравнений являются приведёнными квадратными уравнениями?

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$ – старший коэффициент (коэффициент при $x^2$), $b$ – второй коэффициент (коэффициент при $x$), $c$ – свободный член.

В уравнении $5x^2 - 9x + 4 = 0$ старший коэффициент $a = 5$, второй коэффициент $b = -9$, и свободный член $c = 4$.

Ответ: $a=5, b=-9, c=4$.

В уравнении $x^2 + 3x - 10 = 0$ коэффициент при $x^2$ равен 1, так как $x^2$ — это то же самое, что и $1 \cdot x^2$. Таким образом, старший коэффициент $a = 1$. Второй коэффициент $b = 3$, свободный член $c = -10$.

Ответ: $a=1, b=3, c=-10$.

В уравнении $-x^2 - 8x + 1 = 0$ коэффициент при $x^2$ равен -1, так как $-x^2$ — это то же самое, что и $-1 \cdot x^2$. Таким образом, старший коэффициент $a = -1$. Второй коэффициент $b = -8$, свободный член $c = 1$.

Ответ: $a=-1, b=-8, c=1$.

Уравнение $x^2 + 5x = 0$ является неполным, так как в нём отсутствует свободный член, что означает $c=0$. Коэффициент при $x^2$ равен 1, поэтому $a = 1$. Коэффициент при $x$ равен 5, поэтому $b = 5$.

Ответ: $a=1, b=5, c=0$.

Уравнение $6x^2 - 30 = 0$ является неполным, так как в нём отсутствует член с $x$ в первой степени, что означает $b=0$. Старший коэффициент $a = 6$, свободный член $c = -30$.

Ответ: $a=6, b=0, c=-30$.

Уравнение $9x^2 = 0$ является неполным, так как в нём отсутствуют и второй коэффициент, и свободный член. Это означает, что $b=0$ и $c=0$. Старший коэффициент $a = 9$.

Ответ: $a=9, b=0, c=0$.

Какие из данных уравнений являются приведёнными квадратными уравнениями?

Приведённым называется квадратное уравнение, у которого старший коэффициент (коэффициент $a$) равен единице. Общий вид такого уравнения: $x^2 + px + q = 0$.

Проанализируем данные уравнения на основе найденных коэффициентов $a$:

• а) $5x^2 - 9x + 4 = 0$. Старший коэффициент $a=5$. Уравнение не является приведённым.
• б) $x^2 + 3x - 10 = 0$. Старший коэффициент $a=1$. Уравнение является приведённым.
• в) $-x^2 - 8x + 1 = 0$. Старший коэффициент $a=-1$. Уравнение не является приведённым.
• г) $x^2 + 5x = 0$. Старший коэффициент $a=1$. Уравнение является приведённым.
• д) $6x^2 - 30 = 0$. Старший коэффициент $a=6$. Уравнение не является приведённым.
• е) $9x^2 = 0$. Старший коэффициент $a=9$. Уравнение не является приведённым.

Ответ: приведёнными являются уравнения б) и г).

515. Найдите корни уравнения:

a) $4x^2 - 9 = 0$;

б) $-x^2 + 3 = 0$;

в) $-0,1x^2 + 10 = 0$;

г) $y^2 - \frac{1}{9} = 0$;

д) $6v^2 + 24 = 0$;

е) $3m^2 - 1 = 0$.

а) $4x^2 - 9 = 0$
Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Для его решения перенесем свободный член (-9) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$4x^2 = 9$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 4:
$x^2 = \frac{9}{4}$
Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. У квадратного корня есть два значения: положительное и отрицательное.
$x = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$
$x_1 = \frac{3}{2} = 1,5$
$x_2 = -\frac{3}{2} = -1,5$
Ответ: $-1,5; 1,5$.

б) $-x^2 + 3 = 0$
Перенесем член $-x^2$ в правую часть уравнения, чтобы он стал положительным:
$3 = x^2$
Запишем в более привычном виде:
$x^2 = 3$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{3}$
Ответ: $\pm\sqrt{3}$.

в) $-0,1x^2 + 10 = 0$
Перенесем свободный член (10) в правую часть уравнения:
$-0,1x^2 = -10$
Разделим обе части уравнения на -0,1:
$x^2 = \frac{-10}{-0,1}$
$x^2 = 100$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{100}$
$x = \pm 10$
Ответ: $-10; 10$.

г) $y^2 - \frac{1}{9} = 0$
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$y^2 = \frac{1}{9}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$y = \pm\sqrt{\frac{1}{9}}$
$y = \pm\frac{1}{3}$
Ответ: $\pm\frac{1}{3}$.

д) $6v^2 + 24 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$6v^2 = -24$
Разделим обе части на 6:
$v^2 = \frac{-24}{6}$
$v^2 = -4$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

е) $3m^2 - 1 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$3m^2 = 1$
Разделим обе части на 3:
$m^2 = \frac{1}{3}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$m = \pm\sqrt{\frac{1}{3}}$
Для удобства можно избавиться от иррациональности в знаменателе:
$m = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

517. Решите уравнение:

а) $3x^2 - 4x = 0;$

б) $-5x^2 + 6x = 0;$

в) $10x^2 + 7x = 0;$

г) $4a^2 - 3a = 0;$

д) $6z^2 - z = 0;$

е) $2y + y^2 = 0.$

а) $3x^2 - 4x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

$x_1 = 0$

или

$3x - 4 = 0$

Решая второе уравнение, получаем:

$3x = 4$

$x_2 = \frac{4}{3}$

Ответ: $0; \frac{4}{3}$.

б) $-5x^2 + 6x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(-5x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$

или

$-5x + 6 = 0$

$-5x = -6$

$5x = 6$

$x_2 = \frac{6}{5} = 1.2$

Ответ: $0; 1.2$.

в) $10x^2 + 7x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(10x + 7) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x_1 = 0$

или

$10x + 7 = 0$

$10x = -7$

$x_2 = -\frac{7}{10} = -0.7$

Ответ: $0; -0.7$.

г) $4a^2 - 3a = 0$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(4a - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$a_1 = 0$

или

$4a - 3 = 0$

$4a = 3$

$a_2 = \frac{3}{4} = 0.75$

Ответ: $0; 0.75$.

д) $6z^2 - z = 0$

Вынесем общий множитель $z$ за скобки:

$z(6z - 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$z_1 = 0$

или

$6z - 1 = 0$

$6z = 1$

$z_2 = \frac{1}{6}$

Ответ: $0; \frac{1}{6}$.

е) $2y + y^2 = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде $y^2 + 2y = 0$ и вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$y_1 = 0$

или

$y + 2 = 0$

$y_2 = -2$

Ответ: $-2; 0$.

512. Является ли квадратным уравнение:

а) $3.7x^2 - 5x + 1 = 0;$

б) $48x^2 - x^3 - 9 = 0;$

в) $2.1x^2 + 2x - \frac{2}{3} = 0;$

г) $x + x^2 - 1 = 0;$

д) $7x^2 - 13 = 0;$

е) $-x^2 = 0?$

а) Уравнение $3,7x^2 - 5x + 1 = 0$ является квадратным. Квадратное уравнение имеет общий вид $ax^2 + bx + c = 0$, где старший коэффициент $a \neq 0$. В данном уравнении $a = 3,7$, $b = -5$, $c = 1$. Так как $a \neq 0$ и наивысшая степень переменной $x$ равна 2, уравнение является квадратным.

Ответ: да, является.

б) Уравнение $48x^2 - x^3 - 9 = 0$ не является квадратным. Наивысшая степень переменной $x$ в этом уравнении равна 3 (в члене $-x^3$). Для квадратного уравнения наивысшая степень должна быть равна 2. Это уравнение является кубическим.

Ответ: нет, не является.

в) Уравнение $2,1x^2 + 2x - \frac{2}{3} = 0$ является квадратным. Оно соответствует общему виду $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 2,1$, $b = 2$ и $c = -\frac{2}{3}$. Поскольку старший коэффициент $a = 2,1 \neq 0$, это квадратное уравнение.

Ответ: да, является.

г) Уравнение $x + x^2 - 1 = 0$ является квадратным. После приведения к стандартному виду $x^2 + x - 1 = 0$, мы видим, что оно соответствует общему виду $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = 1$ и $c = -1$. Так как $a = 1 \neq 0$, это квадратное уравнение.

Ответ: да, является.

д) Уравнение $7x^2 - 13 = 0$ является квадратным. Это неполное квадратное уравнение, которое соответствует общему виду $ax^2 + bx + c = 0$ при $a = 7$, $b = 0$ и $c = -13$. Так как $a = 7 \neq 0$, это квадратное уравнение.

Ответ: да, является.

е) Уравнение $-x^2 = 0$ является квадратным. Это неполное квадратное уравнение, которое можно представить в виде $-1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0 = 0$. Здесь коэффициенты $a = -1$, $b = 0$ и $c = 0$. Так как $a = -1 \neq 0$, это квадратное уравнение.

Ответ: да, является.

514. Приведите примеры неполных квадратных уравнений различных видов.

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — числовые коэффициенты, причем $a \neq 0$.

Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов $b$ (коэффициент при $x$) или $c$ (свободный член) равен нулю.

Существует три вида неполных квадратных уравнений:

1. Уравнение вида $ax^2 + c = 0$

Это неполное квадратное уравнение, у которого коэффициент $b = 0$. В нем отсутствует слагаемое с переменной в первой степени.

Пример:
Рассмотрим уравнение $4x^2 - 36 = 0$.
Здесь $a = 4$, $b = 0$, $c = -36$.
Для решения перенесем свободный член в правую часть и разделим на коэффициент при $x^2$:
$4x^2 = 36$
$x^2 = \frac{36}{4}$
$x^2 = 9$
Уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $4x^2 - 36 = 0$.

2. Уравнение вида $ax^2 + bx = 0$

Это неполное квадратное уравнение, у которого свободный член $c = 0$.

Пример:
Рассмотрим уравнение $5x^2 - 10x = 0$.
Здесь $a = 5$, $b = -10$, $c = 0$.
Для решения вынесем общий множитель $5x$ за скобки:
$5x(x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
$5x = 0$ или $x - 2 = 0$
Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Примечание: уравнения этого вида всегда имеют один корень, равный нулю.

Ответ: $5x^2 - 10x = 0$.

3. Уравнение вида $ax^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, у которого и коэффициент $b = 0$, и свободный член $c = 0$.

Пример:
Рассмотрим уравнение $-2x^2 = 0$.
Здесь $a = -2$, $b = 0$, $c = 0$.
Разделим обе части на $a = -2$:
$x^2 = \frac{0}{-2}$
$x^2 = 0$
Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня): $x = 0$.

Ответ: $-2x^2 = 0$.

516. Решите уравнение и укажите приближённые значения корней с точностью до 0,1 (воспользуйтесь калькулятором):

а) $2x^2 - 17 = 0;$

б) $3t^2 - 7,2 = 0;$

в) $-p^2 + 12,6 = 0.$

а)

Дано уравнение $2x^2 - 17 = 0$. Это неполное квадратное уравнение.

1. Перенесем свободный член (-17) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$2x^2 = 17$

2. Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 2:

$x^2 = \frac{17}{2}$

$x^2 = 8,5$

3. Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение имеет два корня:

$x_1 = \sqrt{8,5}$ и $x_2 = -\sqrt{8,5}$

4. С помощью калькулятора найдем приближенное значение $\sqrt{8,5}$:

$\sqrt{8,5} \approx 2,91547...$

5. Округлим полученные значения до десятых (с точностью до 0,1):

$x_1 \approx 2,9$

$x_2 \approx -2,9$

Ответ: $x_1 \approx 2,9$, $x_2 \approx -2,9$.

б)

Дано уравнение $3t^2 - 7,2 = 0$.

1. Перенесем -7,2 в правую часть:

$3t^2 = 7,2$

2. Разделим обе части на 3:

$t^2 = \frac{7,2}{3}$

$t^2 = 2,4$

3. Извлечем квадратный корень:

$t_1 = \sqrt{2,4}$ и $t_2 = -\sqrt{2,4}$

4. Найдем приближенное значение $\sqrt{2,4}$ на калькуляторе:

$\sqrt{2,4} \approx 1,54919...$

5. Округлим до десятых:

$t_1 \approx 1,5$

$t_2 \approx -1,5$

Ответ: $t_1 \approx 1,5$, $t_2 \approx -1,5$.

в)

Дано уравнение $-p^2 + 12,6 = 0$.

1. Перенесем 12,6 в правую часть:

$-p^2 = -12,6$

2. Умножим обе части на -1, чтобы избавиться от отрицательных знаков:

$p^2 = 12,6$

3. Извлечем квадратный корень:

$p_1 = \sqrt{12,6}$ и $p_2 = -\sqrt{12,6}$

4. Найдем приближенное значение $\sqrt{12,6}$ на калькуляторе:

$\sqrt{12,6} \approx 3,54964...$

5. Округлим до десятых:

$p_1 \approx 3,5$

$p_2 \approx -3,5$

Ответ: $p_1 \approx 3,5$, $p_2 \approx -3,5$.

518. Решите уравнение:

а) $2x^2 + 3x = 0;$

б) $3x^2 - 2 = 0;$

В) $5u^2 - 4u = 0;$

Г) $7a - 14a^2 = 0;$

Д) $1 - 4y^2 = 0;$

е) $2x^2 - 6 = 0.$

а)

Дано неполное квадратное уравнение $2x^2 + 3x = 0$.

Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы получаем два уравнения:

1) $x_1 = 0$

2) $2x + 3 = 0$

Решим второе уравнение:

$2x = -3$

$x_2 = -3/2 = -1.5$

Ответ: $0; -1.5$

б)

Дано неполное квадратное уравнение $3x^2 - 2 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$3x^2 = 2$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 = 2/3$

Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $x$. Важно помнить о двух корнях, положительном и отрицательном:

$x = \pm\sqrt{2/3}$

Ответ: $\pm\sqrt{2/3}$

в)

Дано неполное квадратное уравнение $5u^2 - 4u = 0$.

Вынесем общий множитель $u$ за скобки:

$u(5u - 4) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $u_1 = 0$

2) $5u - 4 = 0$

Решим второе уравнение:

$5u = 4$

$u_2 = 4/5 = 0.8$

Ответ: $0; 4/5$

г)

Дано уравнение $7a - 14a^2 = 0$.

Это также неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $7a$ за скобки:

$7a(1 - 2a) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $7a = 0 \implies a_1 = 0$

2) $1 - 2a = 0$

Решим второе уравнение:

$1 = 2a$

$a_2 = 1/2 = 0.5$

Ответ: $0; 1/2$

д)

Дано неполное квадратное уравнение $1 - 4y^2 = 0$.

Перенесем член, содержащий переменную, в правую часть уравнения:

$1 = 4y^2$

Выразим $y^2$:

$y^2 = 1/4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$y = \pm\sqrt{1/4}$

$y = \pm 1/2$

Ответ: $\pm 1/2$

е)

Дано неполное квадратное уравнение $2x^2 - 6 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть:

$2x^2 = 6$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = 3$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $\pm\sqrt{3}$