Страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

503. Сократите дробь:

а) $\frac{\sqrt{70}-\sqrt{30}}{\sqrt{35}-\sqrt{15}};$

б) $\frac{\sqrt{15}-5}{\sqrt{6}-\sqrt{10}};$

в) $\frac{2\sqrt{10}-5}{4-\sqrt{10}};$

г) $\frac{9-2\sqrt{3}}{3\sqrt{6}-2\sqrt{2}};$

д) $\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}-\sqrt{2}};$

е) $\frac{(\sqrt{10}-1)^2-3}{\sqrt{10}+\sqrt{3}-1}.$

а) $\frac{\sqrt{70} - \sqrt{30}}{\sqrt{35} - \sqrt{15}}$
Для сокращения дроби разложим на множители числитель и знаменатель, вынеся общий множитель за скобки.
В числителе: $\sqrt{70} - \sqrt{30} = \sqrt{10 \cdot 7} - \sqrt{10 \cdot 3} = \sqrt{10}(\sqrt{7} - \sqrt{3})$.
В знаменателе: $\sqrt{35} - \sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 7} - \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{5}(\sqrt{7} - \sqrt{3})$.
Получаем дробь: $\frac{\sqrt{10}(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{\sqrt{5}(\sqrt{7} - \sqrt{3})}$.
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{7} - \sqrt{3})$:
$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

б) $\frac{\sqrt{15} - 5}{\sqrt{6} - \sqrt{10}}$
Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе: $\sqrt{15} - 5 = \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{5 \cdot 5} = \sqrt{5}(\sqrt{3} - \sqrt{5})$.
В знаменателе: $\sqrt{6} - \sqrt{10} = \sqrt{2 \cdot 3} - \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{5})$.
Получаем дробь: $\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{\sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{5})}$.
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{3} - \sqrt{5})$:
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

в) $\frac{2\sqrt{10} - 5}{4 - \sqrt{10}}$
Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе: $2\sqrt{10} - 5 = \sqrt{4}\sqrt{10} - \sqrt{25} = \sqrt{40} - \sqrt{25} = \sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 5} = \sqrt{5}(\sqrt{8} - \sqrt{5}) = \sqrt{5}(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$.
В знаменателе: $4 - \sqrt{10} = \sqrt{16} - \sqrt{10} = \sqrt{2 \cdot 8} - \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{2}(\sqrt{8} - \sqrt{5}) = \sqrt{2}(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$.
Получаем дробь: $\frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2} - \sqrt{5})}{\sqrt{2}(2\sqrt{2} - \sqrt{5})}$.
Сокращаем общий множитель $(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$:
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

г) $\frac{9 - 2\sqrt{3}}{3\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}$
Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе: $9 - 2\sqrt{3} = 3 \cdot 3 - 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 3 - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}(3\sqrt{3} - 2)$.
В знаменателе: $3\sqrt{6} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{3}\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}(3\sqrt{3} - 2)$.
Получаем дробь: $\frac{\sqrt{3}(3\sqrt{3} - 2)}{\sqrt{2}(3\sqrt{3} - 2)}$.
Сокращаем общий множитель $(3\sqrt{3} - 2)$:
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

д) $\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}$
Попытаемся вынести в числителе множитель, равный знаменателю. Для этого заметим, что $3\sqrt{2} = \sqrt{18} = \sqrt{3 \cdot 6}$ и $\sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 2}$.
Вынесем $\sqrt{3}$ за скобки в числителе:
$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6} = \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{3}(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2})$.
Получаем дробь: $\frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}$.
Сокращаем общий множитель $(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2})$:
$\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

е) $\frac{(\sqrt{10} - 1)^2 - 3}{\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1}$
Преобразуем числитель, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим $3$ как $(\sqrt{3})^2$.
Числитель: $(\sqrt{10} - 1)^2 - (\sqrt{3})^2 = ((\sqrt{10} - 1) - \sqrt{3})((\sqrt{10} - 1) + \sqrt{3}) = (\sqrt{10} - 1 - \sqrt{3})(\sqrt{10} - 1 + \sqrt{3})$.
Перегруппируем слагаемые в знаменателе для удобства: $\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1 = \sqrt{10} - 1 + \sqrt{3}$.
Получаем дробь: $\frac{(\sqrt{10} - 1 - \sqrt{3})(\sqrt{10} - 1 + \sqrt{3})}{\sqrt{10} - 1 + \sqrt{3}}$.
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{10} - 1 + \sqrt{3})$:
$\sqrt{10} - 1 - \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1$.

505. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $ \frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} $;

б) $ \frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}} $;

в) $ \frac{1 - 2\sqrt{x} + 4x}{1 - 2\sqrt{x}} $;

г) $ \frac{a^2b + 2a\sqrt{b} + 4}{a\sqrt{b} + 2} $.

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{x} + \sqrt{y}$:

$\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{(x - \sqrt{xy} + y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$

Знаменатель преобразуется по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y$.

Числитель является произведением неполного квадрата разности и суммы, что соответствует формуле суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$, где $a=\sqrt{x}$ и $b=\sqrt{y}$. Таким образом, числитель равен:
$(x - \sqrt{xy} + y)(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = ((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2)(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3 = x\sqrt{x} + y\sqrt{y}$.

В результате получаем дробь без иррациональности в знаменателе:
$\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{x - y}$.

Ответ: $\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{x - y}$

б) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $3 - \sqrt{a}$:

$\frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}} = \frac{(9 + 3\sqrt{a} + a)(3 - \sqrt{a})}{(3 + \sqrt{a})(3 - \sqrt{a})}$

Знаменатель преобразуется по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$(3 + \sqrt{a})(3 - \sqrt{a}) = 3^2 - (\sqrt{a})^2 = 9 - a$.

Числитель является произведением неполного квадрата суммы и разности, что соответствует формуле разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$, где $a=3$ и $b=\sqrt{a}$. Таким образом, числитель равен:
$(9 + 3\sqrt{a} + a)(3 - \sqrt{a}) = (3^2 + 3\sqrt{a} + (\sqrt{a})^2)(3 - \sqrt{a}) = 3^3 - (\sqrt{a})^3 = 27 - a\sqrt{a}$.

В результате получаем дробь без иррациональности в знаменателе:
$\frac{27 - a\sqrt{a}}{9 - a}$.

Ответ: $\frac{27 - a\sqrt{a}}{9 - a}$

в) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1 - 2\sqrt{x} + 4x}{1 - 2\sqrt{x}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $1 + 2\sqrt{x}$:

$\frac{1 - 2\sqrt{x} + 4x}{1 - 2\sqrt{x}} = \frac{(1 - 2\sqrt{x} + 4x)(1 + 2\sqrt{x})}{(1 - 2\sqrt{x})(1 + 2\sqrt{x})}$

Знаменатель преобразуется по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(1 - 2\sqrt{x})(1 + 2\sqrt{x}) = 1^2 - (2\sqrt{x})^2 = 1 - 4x$.

Числитель является произведением неполного квадрата разности и суммы, что соответствует формуле суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$, где $a=1$ и $b=2\sqrt{x}$. Таким образом, числитель равен:
$(1 - 2\sqrt{x} + 4x)(1 + 2\sqrt{x}) = (1^2 - 1 \cdot 2\sqrt{x} + (2\sqrt{x})^2)(1 + 2\sqrt{x}) = 1^3 + (2\sqrt{x})^3 = 1 + 8x\sqrt{x}$.

В результате получаем дробь без иррациональности в знаменателе:
$\frac{1 + 8x\sqrt{x}}{1 - 4x}$.

Ответ: $\frac{1 + 8x\sqrt{x}}{1 - 4x}$

г) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{a^2b + 2a\sqrt{b} + 4}{a\sqrt{b} + 2}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $a\sqrt{b} - 2$:

$\frac{a^2b + 2a\sqrt{b} + 4}{a\sqrt{b} + 2} = \frac{(a^2b + 2a\sqrt{b} + 4)(a\sqrt{b} - 2)}{(a\sqrt{b} + 2)(a\sqrt{b} - 2)}$

Знаменатель преобразуется по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$(a\sqrt{b} + 2)(a\sqrt{b} - 2) = (a\sqrt{b})^2 - 2^2 = a^2b - 4$.

Числитель является произведением неполного квадрата суммы и разности, что соответствует формуле разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$, где $a=a\sqrt{b}$ и $b=2$. Таким образом, числитель равен:
$(a^2b + 2a\sqrt{b} + 4)(a\sqrt{b} - 2) = ((a\sqrt{b})^2 + a\sqrt{b} \cdot 2 + 2^2)(a\sqrt{b} - 2) = (a\sqrt{b})^3 - 2^3 = a^3b\sqrt{b} - 8$.

В результате получаем дробь без иррациональности в знаменателе:
$\frac{a^3b\sqrt{b} - 8}{a^2b - 4}$.

Ответ: $\frac{a^3b\sqrt{b} - 8}{a^2b - 4}$

507. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}$; б) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}+2}$.

а)

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1} $, необходимо домножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Поскольку в знаменателе три слагаемых, эту операцию придется выполнить дважды.

1. Сгруппируем слагаемые в знаменателе: $ (\sqrt{2}+1)+\sqrt{3} $. Сопряженным к нему будет выражение $ (\sqrt{2}+1)-\sqrt{3} $. Умножим на него числитель и знаменатель, используя формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 $:

$ \frac{1}{(\sqrt{2}+1)+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot ((\sqrt{2}+1)-\sqrt{3})}{((\sqrt{2}+1)+\sqrt{3})((\sqrt{2}+1)-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2}+1-\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+1)^2 - (\sqrt{3})^2} $

2. Упростим знаменатель:

$ (\sqrt{2}+1)^2 - (\sqrt{3})^2 = ((\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2) - 3 = (2 + 2\sqrt{2} + 1) - 3 = 3 + 2\sqrt{2} - 3 = 2\sqrt{2} $

3. Дробь принимает вид:

$ \frac{\sqrt{2}+1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} $

4. В знаменателе все еще присутствует иррациональность $ \sqrt{2} $. Чтобы от нее избавиться, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:

$ \frac{(\sqrt{2}+1-\sqrt{3}) \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} + 1\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{2 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} $

Знаменатель стал рациональным числом.

Ответ: $ \frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} $

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту для дроби $ \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}+2} $.

1. Сгруппируем слагаемые в знаменателе: $ (\sqrt{5}+2)-\sqrt{3} $. Сопряженным выражением будет $ (\sqrt{5}+2)+\sqrt{3} $. Умножим на него числитель и знаменатель:

$ \frac{1}{(\sqrt{5}+2)-\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot ((\sqrt{5}+2)+\sqrt{3})}{((\sqrt{5}+2)-\sqrt{3})((\sqrt{5}+2)+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}+2+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+2)^2 - (\sqrt{3})^2} $

2. Упростим знаменатель:

$ (\sqrt{5}+2)^2 - (\sqrt{3})^2 = ((\sqrt{5})^2 + 2\cdot\sqrt{5}\cdot 2 + 2^2) - 3 = (5 + 4\sqrt{5} + 4) - 3 = 9 + 4\sqrt{5} - 3 = 6 + 4\sqrt{5} $

3. Дробь принимает вид:

$ \frac{\sqrt{5}+2+\sqrt{3}}{6+4\sqrt{5}} $

4. В знаменателе осталась иррациональность. Сопряженным к $ 6+4\sqrt{5} $ является $ 6-4\sqrt{5} $. Домножим на него числитель и знаменатель:

$ \frac{(\sqrt{5}+2+\sqrt{3}) \cdot (6-4\sqrt{5})}{(6+4\sqrt{5}) \cdot (6-4\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{5}+2+\sqrt{3})(6-4\sqrt{5})}{6^2 - (4\sqrt{5})^2} $

5. Вычислим значения числителя и знаменателя отдельно. Знаменатель:

$ 6^2 - (4\sqrt{5})^2 = 36 - (16 \cdot 5) = 36 - 80 = -44 $

Числитель:

$ (\sqrt{5}+2+\sqrt{3})(6-4\sqrt{5}) = \sqrt{5}\cdot 6 + \sqrt{5}(-4\sqrt{5}) + 2\cdot 6 + 2(-4\sqrt{5}) + \sqrt{3}\cdot 6 + \sqrt{3}(-4\sqrt{5}) $

$ = 6\sqrt{5} - 20 + 12 - 8\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{15} $

$ = (-20+12) + (6\sqrt{5}-8\sqrt{5}) + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{15} = -8 - 2\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{15} $

6. Соберем дробь и упростим ее, разделив числитель и знаменатель на -2:

$ \frac{-8 - 2\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{15}}{-44} = \frac{-2(4 + \sqrt{5} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{15})}{-2 \cdot 22} = \frac{4 + \sqrt{5} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{15}}{22} $

Ответ: $ \frac{4 + \sqrt{5} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{15}}{22} $

502. Сократите дробь:

а) $\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}};$

б) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}};$

В) $\frac{2\sqrt{2} - x\sqrt{x}}{2 + \sqrt{2x} + x};$

Г) $\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}}.$

а)

Дана дробь $\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$.

Преобразуем числитель, представив его как разность кубов. Заметим, что $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2} = (x^{1/2})^3 = (\sqrt{x})^3$. Аналогично, $y\sqrt{y} = (\sqrt{y})^3$.

Таким образом, числитель можно записать как $(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$:

$(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2) = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)$.

Подставим полученное выражение обратно в дробь и сократим:

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = x + \sqrt{xy} + y$.

Сокращение возможно при условии, что $\sqrt{x} - \sqrt{y} \ne 0$, то есть $x \ne y$. Также по определению корня $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Ответ: $x + \sqrt{xy} + y$.

б)

Дана дробь $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}$.

Преобразуем знаменатель, представив его как сумму кубов. Как и в предыдущем примере, $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$ и $b\sqrt{b} = (\sqrt{b})^3$.

Знаменатель можно записать как $(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3$.

Применим формулу суммы кубов $c^3 + d^3 = (c + d)(c^2 - cd + d^2)$, где $c = \sqrt{a}$ и $d = \sqrt{b}$:

$(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2) = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)$.

Подставим полученное выражение в знаменатель дроби и сократим:

$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)} = \frac{1}{a - \sqrt{ab} + b}$.

Сокращение возможно при условии, что $\sqrt{a} + \sqrt{b} \ne 0$, что выполняется для всех допустимых $a \ge 0, b \ge 0$, кроме случая $a=b=0$.

Ответ: $\frac{1}{a - \sqrt{ab} + b}$.

в)

Дана дробь $\frac{2\sqrt{2} - x\sqrt{x}}{2 + \sqrt{2x} + x}$.

Преобразуем числитель, представив его как разность кубов. Заметим, что $2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$ и $x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$.

Числитель равен $(\sqrt{2})^3 - (\sqrt{x})^3$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{x}$:

$(\sqrt{2})^3 - (\sqrt{x})^3 = (\sqrt{2} - \sqrt{x})((\sqrt{2})^2 + \sqrt{2}\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2) = (\sqrt{2} - \sqrt{x})(2 + \sqrt{2x} + x)$.

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{x})(2 + \sqrt{2x} + x)}{2 + \sqrt{2x} + x}$.

Сократим дробь на общий множитель $(2 + \sqrt{2x} + x)$. Этот множитель (неполный квадрат суммы) всегда положителен при $x \ge 0$.

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{x})\cancel{(2 + \sqrt{2x} + x)}}{\cancel{2 + \sqrt{2x} + x}} = \sqrt{2} - \sqrt{x}$.

Ответ: $\sqrt{2} - \sqrt{x}$.

г)

Дана дробь $\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}}$.

Преобразуем знаменатель, представив его как сумму кубов. Заметим, что $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$ и $3\sqrt{3} = (\sqrt{3})^3$.

Знаменатель равен $(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{3})^3$.

Применим формулу суммы кубов $c^3 + d^3 = (c + d)(c^2 - cd + d^2)$, где $c = \sqrt{a}$ и $d = \sqrt{3}$:

$(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{3})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{3})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = (\sqrt{a} + \sqrt{3})(a - \sqrt{3a} + 3)$.

Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:

$\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{(\sqrt{a} + \sqrt{3})(a - \sqrt{3a} + 3)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(a - \sqrt{3a} + 3)$. Этот множитель (неполный квадрат разности) всегда положителен при $a \ge 0$.

$\frac{\cancel{a - \sqrt{3a} + 3}}{(\sqrt{a} + \sqrt{3})\cancel{(a - \sqrt{3a} + 3)}} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$.

504. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}};$

б) $\frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}};$

В) $\frac{x-\sqrt{ax}}{a\sqrt{x}};$

Г) $\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}};$

Д) $\frac{2\sqrt{3}-3}{5\sqrt{3}};$

е) $\frac{2-3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}.$

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на $\sqrt{a}$:

$\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{(1+\sqrt{a}) \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{1 \cdot \sqrt{a} + \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}{(\sqrt{a})^2} = \frac{\sqrt{a} + a}{a}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{a} + a}{a}$.

б) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}$ на $\sqrt{y}$, чтобы убрать корень из знаменателя:

$\frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}} = \frac{(y+b\sqrt{y}) \cdot \sqrt{y}}{b\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} = \frac{y\sqrt{y} + b(\sqrt{y})^2}{b(\sqrt{y})^2} = \frac{y\sqrt{y} + by}{by}$.

Теперь вынесем общий множитель $y$ в числителе и сократим дробь:

$\frac{y(\sqrt{y} + b)}{by} = \frac{\sqrt{y} + b}{b}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{y} + b}{b}$.

в) Для дроби $\frac{x-\sqrt{ax}}{a\sqrt{x}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{x}$:

$\frac{x-\sqrt{ax}}{a\sqrt{x}} = \frac{(x-\sqrt{ax}) \cdot \sqrt{x}}{a\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{x\sqrt{x} - \sqrt{ax}\sqrt{x}}{a(\sqrt{x})^2} = \frac{x\sqrt{x} - \sqrt{ax^2}}{ax}$.

Упростим числитель (при $x>0$, $\sqrt{ax^2} = x\sqrt{a}$) и сократим полученную дробь:

$\frac{x\sqrt{x} - x\sqrt{a}}{ax} = \frac{x(\sqrt{x} - \sqrt{a})}{ax} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{a}}{a}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{a}}{a}$.

г) Для дроби $\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{ab}$:

$\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} = \frac{(a\sqrt{b}+b\sqrt{a}) \cdot \sqrt{ab}}{(\sqrt{ab})^2} = \frac{a\sqrt{b}\sqrt{ab} + b\sqrt{a}\sqrt{ab}}{ab} = \frac{a\sqrt{ab^2} + b\sqrt{a^2b}}{ab}$.

Упростим выражение в числителе (при $a>0, b>0$, $\sqrt{ab^2} = b\sqrt{a}$ и $\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}$):

$\frac{a(b\sqrt{a}) + b(a\sqrt{b})}{ab} = \frac{ab\sqrt{a} + ab\sqrt{b}}{ab} = \frac{ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{ab} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Ответ: $\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

д) Для дроби $\frac{2\sqrt{3}-3}{5\sqrt{3}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{2\sqrt{3}-3}{5\sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3}-3) \cdot \sqrt{3}}{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{3})^2 - 3\sqrt{3}}{5(\sqrt{3})^2} = \frac{2 \cdot 3 - 3\sqrt{3}}{5 \cdot 3} = \frac{6 - 3\sqrt{3}}{15}$.

Вынесем общий множитель 3 в числителе и сократим дробь:

$\frac{3(2-\sqrt{3})}{15} = \frac{2-\sqrt{3}}{5}$.

Ответ: $\frac{2-\sqrt{3}}{5}$.

е) Для дроби $\frac{2-3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{2-3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{(2-3\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - 3(\sqrt{2})^2}{4(\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{2} - 3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2} - 6}{8}$.

Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь:

$\frac{2(\sqrt{2}-3)}{8} = \frac{\sqrt{2}-3}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}-3}{4}$.

506. Освободитесь от иррациональности в числителе дроби:

а) $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$;

б) $\frac{a+\sqrt{b}}{a\sqrt{b}}$;

в) $\frac{7-\sqrt{a}}{49-7\sqrt{a}+a}$;

г) $\frac{\sqrt{mn+1}}{mn+\sqrt{mn+1}}$.

а) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю. Сопряженным для $\sqrt{x} - \sqrt{y}$ является выражение $\sqrt{x} + \sqrt{y}$.

Выполним умножение:

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y$

В знаменателе раскроем скобки:

$\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = x + \sqrt{xy}$

В результате получаем дробь без иррациональности в числителе:

$\frac{x-y}{x + \sqrt{xy}}$

Ответ: $\frac{x-y}{x+\sqrt{xy}}$

б) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{a + \sqrt{b}}{a\sqrt{b}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю. Сопряженным для $a + \sqrt{b}$ является выражение $a - \sqrt{b}$.

Выполним умножение:

$\frac{a + \sqrt{b}}{a\sqrt{b}} = \frac{(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b})}{a\sqrt{b}(a - \sqrt{b})}$

В числителе используем формулу разности квадратов:

$(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b$

В знаменателе раскроем скобки:

$a\sqrt{b}(a - \sqrt{b}) = a\sqrt{b} \cdot a - a\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = a^2\sqrt{b} - ab$

В результате получаем дробь:

$\frac{a^2 - b}{a^2\sqrt{b} - ab}$

Ответ: $\frac{a^2-b}{a^2\sqrt{b}-ab}$

в) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{7 - \sqrt{a}}{49 - 7\sqrt{a} + a}$, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю. Сопряженным для $7 - \sqrt{a}$ является выражение $7 + \sqrt{a}$.

Выполним умножение:

$\frac{7 - \sqrt{a}}{49 - 7\sqrt{a} + a} = \frac{(7 - \sqrt{a})(7 + \sqrt{a})}{(49 - 7\sqrt{a} + a)(7 + \sqrt{a})}$

В числителе используем формулу разности квадратов:

$(7 - \sqrt{a})(7 + \sqrt{a}) = 7^2 - (\sqrt{a})^2 = 49 - a$

Знаменатель $49 - 7\sqrt{a} + a$ можно представить как $7^2 - 7\sqrt{a} + (\sqrt{a})^2$. Тогда произведение в знаменателе является формулой суммы кубов $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$, где $x=7$ и $y=\sqrt{a}$:

$(7 + \sqrt{a})(7^2 - 7\sqrt{a} + (\sqrt{a})^2) = 7^3 + (\sqrt{a})^3 = 343 + a\sqrt{a}$

В результате получаем дробь:

$\frac{49 - a}{343 + a\sqrt{a}}$

Ответ: $\frac{49-a}{343+a\sqrt{a}}$

г) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{\sqrt{mn+1}}{mn + \sqrt{mn+1}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на сам числитель, то есть на $\sqrt{mn+1}$.

Выполним умножение:

$\frac{\sqrt{mn+1}}{mn + \sqrt{mn+1}} = \frac{\sqrt{mn+1} \cdot \sqrt{mn+1}}{(mn + \sqrt{mn+1}) \cdot \sqrt{mn+1}}$

В числителе получаем:

$(\sqrt{mn+1})^2 = mn+1$

В знаменателе раскроем скобки:

$(mn + \sqrt{mn+1})\sqrt{mn+1} = mn\sqrt{mn+1} + (\sqrt{mn+1})^2 = mn\sqrt{mn+1} + mn+1$

В результате получаем дробь:

$\frac{mn+1}{mn\sqrt{mn+1} + mn+1}$

Ответ: $\frac{mn+1}{mn\sqrt{mn+1} + mn+1}$