Страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

519. Верно ли утверждение:

а) неполное квадратное уравнение $x^2 - 19 = 0$ не имеет корней;

б) неполное квадратное уравнение $x^2 + 19 = 0$ не имеет корней;

в) неполное квадратное уравнение $x^2 + 19x = 0$ не имеет корней?

а) Рассмотрим неполное квадратное уравнение $x^2 - 19 = 0$. Чтобы проверить утверждение, решим данное уравнение. Это уравнение вида $ax^2 + c = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = 19$

Так как правая часть уравнения положительна, уравнение имеет два действительных корня: $x = \sqrt{19}$ и $x = -\sqrt{19}$.

Следовательно, утверждение, что уравнение не имеет корней, неверно.

Ответ: неверно.

б) Рассмотрим неполное квадратное уравнение $x^2 + 19 = 0$. Решим его, перенеся свободный член в правую часть:

$x^2 = -19$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Поскольку правая часть уравнения отрицательна ($-19$), данное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, утверждение, что уравнение не имеет корней, верно.

Ответ: верно.

в) Рассмотрим неполное квадратное уравнение $x^2 + 19x = 0$. Это уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 19) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

1) $x = 0$

2) $x + 19 = 0 \Rightarrow x = -19$

Уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -19$.

Следовательно, утверждение, что уравнение не имеет корней, неверно.

Ответ: неверно.

521. Решите уравнение:

а) $4x^2 - 3x + 7 = 2x^2 + x + 7;$

б) $-5y^2 + 8y + 8 = 8y + 3;$

в) $10 - 3x^2 = x^2 + 10 - x;$

г) $1 - 2y + 3y^2 = y^2 - 2y + 1.$

а) $4x^2 - 3x + 7 = 2x^2 + x + 7$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$4x^2 - 3x + 7 - 2x^2 - x - 7 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 2x^2) + (-3x - x) + (7 - 7) = 0$
$2x^2 - 4x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:
$2x = 0$ или $x - 2 = 0$
$x_1 = 0$
$x_2 = 2$
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$

б) $-5y^2 + 8y + 8 = 8y + 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$-5y^2 + 8y + 8 - 8y - 3 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-5y^2 + (8y - 8y) + (8 - 3) = 0$
$-5y^2 + 5 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$-5y^2 = -5$
Разделим обе части на $-5$:
$y^2 = 1$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$y_1 = 1$, $y_2 = -1$
Ответ: $y_1 = -1, y_2 = 1$

в) $10 - 3x^2 = x^2 + 10 - x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$10 - 3x^2 - x^2 - 10 + x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(-3x^2 - x^2) + x + (10 - 10) = 0$
$-4x^2 + x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(-4x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $-4x + 1 = 0$
$x_1 = 0$
$-4x = -1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{4}$
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{4}$

г) $1 - 2y + 3y^2 = y^2 - 2y + 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$1 - 2y + 3y^2 - y^2 + 2y - 1 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(3y^2 - y^2) + (-2y + 2y) + (1 - 1) = 0$
$2y^2 = 0$
Разделим обе части на 2:
$y^2 = 0$
Уравнение имеет один корень:
$y = 0$
Ответ: $y=0$

523. Решите уравнение:

a) $x^2 - 5 = (x + 5)(2x - 1)$;

б) $2x - (x + 1)^2 = 3x^2 - 6$;

в) $6a^2 - (a + 2)^2 = -4(a - 4)$;

г) $(5y + 2)(y - 3) = -13(2 + y).$

а) $x^2 - 5 = (x + 5)(2x - 1)$
Для начала раскроем скобки в правой части уравнения, перемножив многочлены:
$(x + 5)(2x - 1) = x \cdot 2x + x \cdot (-1) + 5 \cdot 2x + 5 \cdot (-1) = 2x^2 - x + 10x - 5 = 2x^2 + 9x - 5$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$x^2 - 5 = 2x^2 + 9x - 5$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону (например, вправо), чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$0 = 2x^2 - x^2 + 9x - 5 + 5$
$0 = x^2 + 9x$
Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 9) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:
$x_1 = 0$
или
$x + 9 = 0 \Rightarrow x_2 = -9$
Ответ: $0; -9$.

б) $2x - (x + 1)^2 = 3x^2 - 6$
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$2x - (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) = 3x^2 - 6$
$2x - (x^2 + 2x + 1) = 3x^2 - 6$
Теперь раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:
$2x - x^2 - 2x - 1 = 3x^2 - 6$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-x^2 - 1 = 3x^2 - 6$
Перенесем все члены в правую часть уравнения:
$0 = 3x^2 + x^2 - 6 + 1$
$0 = 4x^2 - 5$
Это неполное квадратное уравнение. Выразим $x^2$:
$4x^2 = 5$
$x^2 = \frac{5}{4}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{\frac{5}{4}}$
$x_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$, $x_2 = -\frac{\sqrt{5}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}; -\frac{\sqrt{5}}{2}$.

в) $6a^2 - (a + 2)^2 = -4(a - 4)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы, а в правой — распределительный закон:
$6a^2 - (a^2 + 4a + 4) = -4a + 16$
Раскроем скобки в левой части:
$6a^2 - a^2 - 4a - 4 = -4a + 16$
Приведем подобные слагаемые слева:
$5a^2 - 4a - 4 = -4a + 16$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$5a^2 - 4a - 4 + 4a - 16 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$5a^2 - 20 = 0$
Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$5a^2 = 20$
$a^2 = \frac{20}{5}$
$a^2 = 4$
$a = \pm\sqrt{4}$
$a_1 = 2$, $a_2 = -2$
Ответ: $2; -2$.

г) $(5y + 2)(y - 3) = -13(2 + y)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$5y \cdot y + 5y \cdot (-3) + 2 \cdot y + 2 \cdot (-3) = -13 \cdot 2 - 13 \cdot y$
$5y^2 - 15y + 2y - 6 = -26 - 13y$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5y^2 - 13y - 6 = -26 - 13y$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$5y^2 - 13y - 6 + 26 + 13y = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$5y^2 + (-13y + 13y) + (-6 + 26) = 0$
$5y^2 + 20 = 0$
Попробуем решить это неполное квадратное уравнение:
$5y^2 = -20$
$y^2 = -4$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как $y^2 \ge 0$ для любого действительного $y$, а $-4 < 0$, то данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: нет корней.

525. Тенниcный корт представляет собой прямоугольную площадку, длина которой вдвое больше ширины, а площадь равна $800 м^2$. Найдите длину и ширину корта.

Пусть ширина теннисного корта равна $w$ метров. Согласно условию задачи, длина корта, которую обозначим как $l$, вдвое больше ширины. Следовательно, мы можем записать следующее соотношение:

$l = 2w$

Площадь прямоугольного корта $S$ вычисляется по формуле произведения его длины на ширину:

$S = l \cdot w$

Из условия известно, что площадь корта равна 800 м². Подставим в формулу площади выражение для длины $l = 2w$, чтобы связать площадь с одной переменной $w$:

$S = (2w) \cdot w = 2w^2$

Теперь составим уравнение, приравняв полученное выражение для площади к ее известному значению:

$2w^2 = 800$

Для того чтобы найти $w^2$, разделим обе части уравнения на 2:

$w^2 = \frac{800}{2}$

$w^2 = 400$

Теперь найдем ширину $w$, извлекая квадратный корень из 400. Так как ширина является геометрической величиной, она может быть только положительным числом:

$w = \sqrt{400} = 20$ (м)

Таким образом, ширина корта составляет 20 метров.

Чтобы найти длину корта, подставим найденное значение ширины в соотношение $l = 2w$:

$l = 2 \cdot 20 = 40$ (м)

Следовательно, длина корта составляет 40 метров.

Ответ: ширина корта равна 20 м, а длина — 40 м.

527. Две группы туристов отправились одновременно из одного пункта — одна на север со скоростью 4 км/ч, а другая на запад со скоростью 5 км/ч. Через какое время расстояние между туристами окажется равным 16 км?

Пусть $t$ — искомое время в часах. За это время первая группа туристов, которая движется на север со скоростью $v_1 = 4$ км/ч, пройдет расстояние $S_1 = v_1 \cdot t = 4t$ км. Вторая группа, которая движется на запад со скоростью $v_2 = 5$ км/ч, пройдет расстояние $S_2 = v_2 \cdot t = 5t$ км.

Поскольку направления движения групп (север и запад) перпендикулярны друг другу, их траектории образуют катеты прямоугольного треугольника, а их начальная точка — вершину с прямым углом. Расстояние между группами в момент времени $t$ является гипотенузой этого треугольника. Обозначим это расстояние $S$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $S^2 = S_1^2 + S_2^2$. По условию задачи, расстояние между туристами должно стать равным $S = 16$ км. Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно $t$:
$16^2 = (4t)^2 + (5t)^2$
$256 = 16t^2 + 25t^2$
$256 = 41t^2$

Выразим из этого уравнения $t^2$:
$t^2 = \frac{256}{41}$
Так как время $t$ является положительной величиной, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$t = \sqrt{\frac{256}{41}} = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{41}} = \frac{16}{\sqrt{41}}$
Ответ: через $\frac{16}{\sqrt{41}}$ часа.

520. Верно ли утверждение:

a) при $a = 2$ уравнение $(a - 2)x^2 + 15x + a^2 - 4 = 0$ является неполным квадратным уравнением;

б) при $a = -2$ уравнение $(a - 2)x^2 + 15x + a^2 - 4 = 0$ является неполным квадратным уравнением;

в) при $a = 0$ уравнение $(a - 2)x^2 + 15x + a^2 - 4 = 0$ является неполным квадратным уравнением?

а) Подставим значение $a = 2$ в исходное уравнение $(a - 2)x^2 + 15x + a^2 - 4 = 0$. Получим: $(2 - 2)x^2 + 15x + 2^2 - 4 = 0$. После упрощения имеем $0 \cdot x^2 + 15x + 4 - 4 = 0$, что приводит к уравнению $15x = 0$. Это уравнение является линейным, а не квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен нулю. По определению, неполное квадратное уравнение является частным случаем квадратного уравнения, у которого коэффициент при $x^2$ отличен от нуля. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: нет.

б) Подставим значение $a = -2$ в уравнение: $(-2 - 2)x^2 + 15x + (-2)^2 - 4 = 0$. Это преобразуется в $-4x^2 + 15x + 4 - 4 = 0$, и окончательно $-4x^2 + 15x = 0$. Это уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ (равный $-4$) не равен нулю. Неполным квадратным уравнением вида $Ax^2+Bx+C=0$ называется такое, у которого хотя бы один из коэффициентов $B$ или $C$ равен нулю. В данном случае $A=-4$, $B=15$, $C=0$. Так как свободный член $C$ равен нулю, уравнение является неполным квадратным. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да.

в) Подставим значение $a = 0$ в уравнение: $(0 - 2)x^2 + 15x + 0^2 - 4 = 0$. Получаем уравнение $-2x^2 + 15x - 4 = 0$. Это уравнение является квадратным, поскольку коэффициент при $x^2$ не равен нулю (он равен $-2$). В этом уравнении все коэффициенты отличны от нуля: $A=-2$, $B=15$, $C=-4$. Такое уравнение называется полным квадратным уравнением. Следовательно, утверждение о том, что оно является неполным, неверно.

Ответ: нет.

522. Найдите корни уравнения:

a) $(x+3)(x-4) = -12;$

б) $\frac{2}{3}t + (2t+1)(\frac{1}{3}t-1) = 0;$

в) $3x(2x+3) = 2x(x+4,5) + 2;$

г) $(x-1)(x+1) = 2(x^2-3).$

а) $(x+3)(x-4) = -12$

Для решения этого уравнения сначала раскроем скобки в левой части:

$x \cdot x - 4 \cdot x + 3 \cdot x - 3 \cdot 4 = -12$

$x^2 - 4x + 3x - 12 = -12$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - x - 12 = -12$

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 12 + 12 = 0$

$x^2 - x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x-1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Поэтому мы имеем два случая:

$x = 0$ или $x - 1 = 0$

Из второго уравнения находим $x = 1$.

Таким образом, у уравнения два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Ответ: $0; 1$

б) $1\frac{2}{3}t + (2t+1)(\frac{1}{3}t - 1) = 0$

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

Теперь раскроем скобки, умножив многочлены:

$\frac{5}{3}t + (2t \cdot \frac{1}{3}t - 2t \cdot 1 + 1 \cdot \frac{1}{3}t - 1 \cdot 1) = 0$

$\frac{5}{3}t + \frac{2}{3}t^2 - 2t + \frac{1}{3}t - 1 = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2}{3}t^2 + (\frac{5}{3}t - 2t + \frac{1}{3}t) - 1 = 0$

$\frac{2}{3}t^2 + (\frac{5+1}{3}t - 2t) - 1 = 0$

$\frac{2}{3}t^2 + (\frac{6}{3}t - 2t) - 1 = 0$

$\frac{2}{3}t^2 + (2t - 2t) - 1 = 0$

$\frac{2}{3}t^2 - 1 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем $-1$ в правую часть:

$\frac{2}{3}t^2 = 1$

Выразим $t^2$:

$t^2 = 1 \cdot \frac{3}{2}$

$t^2 = \frac{3}{2}$

Теперь найдем $t$, извлекая квадратный корень из обеих частей:

$t = \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$

Можно избавиться от иррациональности в знаменателе: $t = \pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{\sqrt{6}}{2}$ и $t_2 = -\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$

в) $3x(2x+3) = 2x(x+4,5) + 2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x \cdot 2x + 3x \cdot 3 = 2x \cdot x + 2x \cdot 4,5 + 2$

$6x^2 + 9x = 2x^2 + 9x + 2$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$6x^2 + 9x - 2x^2 - 9x - 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(6x^2 - 2x^2) + (9x - 9x) - 2 = 0$

$4x^2 - 2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем $-2$ в правую часть:

$4x^2 = 2$

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

г) $(x-1)(x+1) = 2(x^2-3)$

В левой части уравнения находится формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. В правой части раскроем скобки:

$x^2 - 1^2 = 2 \cdot x^2 - 2 \cdot 3$

$x^2 - 1 = 2x^2 - 6$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону (вправо, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным):

$0 = 2x^2 - x^2 - 6 + 1$

$0 = x^2 - 5$

Или $x^2 - 5 = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем $-5$ в правую часть:

$x^2 = 5$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{5}$

Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.

Ответ: $\pm\sqrt{5}$

524. Произведение двух последовательных целых чисел в 1,5 раза больше квадрата меньшего из них. Найдите эти числа.

Пусть меньшее из двух последовательных целых чисел равно $n$. Тогда следующее за ним целое число будет $n+1$.

Произведение этих чисел равно $n(n+1)$, а квадрат меньшего из них равен $n^2$.

Согласно условию задачи, произведение в 1,5 раза больше квадрата меньшего числа. Можем составить следующее уравнение:

$n(n+1) = 1.5 \cdot n^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$n^2 + n = 1.5n^2$

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение:

$1.5n^2 - n^2 - n = 0$

$0.5n^2 - n = 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n(0.5n - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $n$:

1) $n_1 = 0$

2) $0.5n_2 - 1 = 0 \implies 0.5n_2 = 1 \implies n_2 = \frac{1}{0.5} = 2$

Поскольку и 0, и 2 являются целыми числами, оба решения подходят. Теперь найдем соответствующие пары последовательных чисел.

Случай 1: Если меньшее число $n = 0$.

Тогда следующее число $n+1 = 0+1 = 1$. Искомые числа — 0 и 1.

Проверка: произведение чисел $0 \cdot 1 = 0$. Квадрат меньшего числа $0^2 = 0$. Условие $0 = 1.5 \cdot 0$ выполняется.

Случай 2: Если меньшее число $n = 2$.

Тогда следующее число $n+1 = 2+1 = 3$. Искомые числа — 2 и 3.

Проверка: произведение чисел $2 \cdot 3 = 6$. Квадрат меньшего числа $2^2 = 4$. Условие $6 = 1.5 \cdot 4$ выполняется ($1.5 \cdot 4 = 6$).

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две пары чисел.

Ответ: 0 и 1; 2 и 3.

526. Если от квадрата отрезать треугольник площадью $59 \text{ см}^2$, то площадь оставшейся части будет равна $85 \text{ см}^2$. Найдите сторону квадрата.

Для решения задачи нам необходимо сначала найти общую площадь квадрата. Площадь квадрата состоит из площади отрезанного от него треугольника и площади оставшейся части.

Пусть $S_{квадрата}$ — это площадь квадрата, $S_{треугольника}$ — площадь отрезанного треугольника, а $S_{остатка}$ — площадь оставшейся части.
По условию задачи мы имеем:
$S_{треугольника} = 59 \text{ см}^2$
$S_{остатка} = 85 \text{ см}^2$

Чтобы найти полную площадь квадрата, сложим площади его частей:
$S_{квадрата} = S_{треугольника} + S_{остатка} = 59 \text{ см}^2 + 85 \text{ см}^2 = 144 \text{ см}^2$

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — его сторона. Чтобы найти сторону квадрата, зная его площадь, необходимо извлечь квадратный корень из значения площади.
$a = \sqrt{S_{квадрата}}$

Подставим найденное значение площади в формулу:
$a = \sqrt{144 \text{ см}^2} = 12 \text{ см}$

Следовательно, сторона квадрата равна 12 см.
Ответ: 12 см.

528. Путь свободно падающего тела вычисляется по формуле $s = \frac{gt^2}{2}$, где $t$ (с) — время, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$, $s$ (м) — пройденный путь. Через сколько секунд от начала падения камень достигнет дна шахты глубиной 80 м?

В данной задаче нам дана формула для вычисления пути свободно падающего тела: $s = \frac{gt^2}{2}$. Нам известны следующие значения:

- $s$ (пройденный путь, то есть глубина шахты) = 80 м.

- $g$ (ускорение свободного падения) $\approx 10 \text{ м/с}^2$.

Необходимо найти время падения $t$. Для этого нужно выразить $t$ из данной формулы.

1. Умножим обе части формулы на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$2s = gt^2$

2. Разделим обе части на $g$, чтобы выразить $t^2$:

$t^2 = \frac{2s}{g}$

3. Чтобы найти $t$, извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как время не может быть отрицательной величиной, нас интересует только положительное значение корня:

$t = \sqrt{\frac{2s}{g}}$

4. Теперь подставим известные числовые значения в полученную формулу:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 80}{10}}$

5. Произведем вычисления:

$t = \sqrt{\frac{160}{10}} = \sqrt{16} = 4$

Таким образом, время падения камня составляет 4 секунды.

Ответ: 4 с.