Страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

529. Ширина земельного участка, имеющего форму прямоугольника, составляет 75% его длины, а его площадь равна 4800 $м^2$. Найдите длину забора, ограждающего этот участок.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $l$ – длина земельного участка, а $w$ – его ширина.

По условию, ширина участка составляет 75% его длины. Чтобы выразить ширину через длину, переведем проценты в десятичную дробь: $75\% = 0.75$.

Таким образом, $w = 0.75 \cdot l$.

Площадь прямоугольника ($A$) вычисляется по формуле $A = l \cdot w$. Нам известно, что $A = 4800$ м². Подставим в эту формулу выражение для ширины:

$A = l \cdot (0.75 \cdot l) = 0.75 \cdot l^2$

Теперь мы можем составить уравнение, подставив известное значение площади, и найти длину участка:

$4800 = 0.75 \cdot l^2$

Выразим $l^2$:

$l^2 = \frac{4800}{0.75}$

Для удобства вычислений можно представить $0.75$ в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{4}$:

$l^2 = \frac{4800}{3/4} = 4800 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4800 \cdot 4}{3} = 1600 \cdot 4 = 6400$

Теперь найдем длину, извлекая квадратный корень:

$l = \sqrt{6400} = 80$ м.

Зная длину, найдем ширину участка:

$w = 0.75 \cdot l = 0.75 \cdot 80 = 60$ м.

Длина забора, ограждающего участок, равна его периметру ($P$). Периметр прямоугольника находится по формуле:

$P = 2 \cdot (l + w)$

Подставим найденные значения длины и ширины:

$P = 2 \cdot (80 + 60) = 2 \cdot 140 = 280$ м.

Ответ: 280 м.

531. В каких координатных четвертях расположен график функции:

а) $y=(1-\sqrt{2})x$;

б) $y=(\sqrt{35}-5,7)x?$

Обе функции, представленные в задании, имеют вид $y = kx$. Графиком такой функции является прямая линия, которая проходит через начало координат (точку $(0,0)$). Расположение этой прямой на координатной плоскости, то есть в каких четвертях она находится, полностью определяется знаком углового коэффициента $k$.

• Если коэффициент $k > 0$ (положительный), то график функции расположен в I и III координатных четвертях.
• Если коэффициент $k < 0$ (отрицательный), то график функции расположен во II и IV координатных четвертях.

Для решения задачи необходимо определить знак коэффициента $k$ для каждой из функций.

а) $y = (1 - \sqrt{2})x$

В данном случае угловой коэффициент $k = 1 - \sqrt{2}$. Чтобы определить его знак, сравним числа 1 и $\sqrt{2}$. Для этого возведем их в квадрат:

$1^2 = 1$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

Поскольку $1 < 2$, то и $1 < \sqrt{2}$. Это означает, что разность $1 - \sqrt{2}$ будет отрицательной.

Итак, $k = 1 - \sqrt{2} < 0$.

Так как угловой коэффициент отрицательный, график функции находится во второй и четвертой координатных четвертях.

Ответ: во II и IV координатных четвертях.

б) $y = (\sqrt{35} - 5,7)x$

Здесь угловой коэффициент $k = \sqrt{35} - 5,7$. Чтобы определить его знак, сравним числа $\sqrt{35}$ и $5,7$. Для этого так же возведем их в квадрат:

$(\sqrt{35})^2 = 35$

$(5,7)^2 = 5,7 \times 5,7 = 32,49$

Поскольку $35 > 32,49$, то и $\sqrt{35} > \sqrt{32,49}$, что значит $\sqrt{35} > 5,7$. Это означает, что разность $\sqrt{35} - 5,7$ будет положительной.

Итак, $k = \sqrt{35} - 5,7 > 0$.

Так как угловой коэффициент положительный, график функции находится в первой и третьей координатных четвертях.

Ответ: в I и III координатных четвертях.

530. Телевизор имеет плоский экран прямоугольной формы. В паспорте к телевизору указано, что длина экрана относится к ширине как 4 : 3, а диагональ равна 25 дюймам. Найдите длину и ширину экрана в дюймах; в сантиметрах ($1 \text{ дюйм} = 2,54 \text{ см}$).

Найдите длину и ширину экрана в дюймах
Пусть длина экрана равна $l$, а ширина — $w$. Согласно условию, их соотношение $l:w$ равно $4:3$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда можно записать:
Длина $l = 4x$
Ширина $w = 3x$
Экран имеет прямоугольную форму, поэтому его длина, ширина и диагональ ($d$) образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов (длины и ширины) равна квадрату гипотенузы (диагонали).
$l^2 + w^2 = d^2$
Подставим в формулу наши выражения для длины и ширины, а также известное значение диагонали $d = 25$ дюймов:
$(4x)^2 + (3x)^2 = 25^2$
$16x^2 + 9x^2 = 625$
$25x^2 = 625$
$x^2 = \frac{625}{25}$
$x^2 = 25$
$x = \sqrt{25} = 5$
Поскольку $x$ — это коэффициент для вычисления длин сторон, мы используем только положительное значение корня.
Теперь можем найти длину и ширину экрана в дюймах:
Длина $l = 4x = 4 \cdot 5 = 20$ дюймов.
Ширина $w = 3x = 3 \cdot 5 = 15$ дюймов.
Ответ: длина экрана — 20 дюймов, ширина — 15 дюймов.

Найдите длину и ширину экрана в сантиметрах (1 дюйм = 2,54 см)
Чтобы найти размеры в сантиметрах, умножим полученные значения в дюймах на коэффициент перевода $2,54$.
Длина в сантиметрах:
$20 \text{ дюймов} \cdot 2,54 = 50,8$ см.
Ширина в сантиметрах:
$15 \text{ дюймов} \cdot 2,54 = 38,1$ см.
Ответ: длина экрана — 50,8 см, ширина — 38,1 см.

532. Найдите значение выражения $ \frac{9 + 6x + x^2}{x+3} + \sqrt{x} $ при $ x = 0,36 $ и при $ x = 49 $.

Для нахождения значения выражения $\frac{9+6x+x^2}{x+3} + \sqrt{x}$ сначала упростим его.
Числитель дроби $9+6x+x^2$ является полным квадратом. Запишем его в стандартном виде $x^2+6x+9$.
Используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, получаем:
$x^2+6x+9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{(x+3)^2}{x+3} + \sqrt{x}$

Сократим дробь на $(x+3)$, что возможно при $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$. Оба заданных значения $x$ ($0,36$ и $49$) удовлетворяют этому условию.
После сокращения получаем упрощенное выражение:

$x+3+\sqrt{x}$

Теперь вычислим значение этого выражения для каждого из заданных значений $x$.

при x = 0,36

Подставим значение $x = 0,36$ в упрощенное выражение:

$0,36 + 3 + \sqrt{0,36} = 3,36 + 0,6 = 3,96$

Ответ: 3,96

при x = 49

Подставим значение $x = 49$ в упрощенное выражение:

$49 + 3 + \sqrt{49} = 52 + 7 = 59$

Ответ: 59